Изоморфизм, подобие, аналогия

Изоморфизм и гомоморфизм

Изоморфизм

Изоморфизм (изоморфный – одинаковый по форме) есть взаимнооднозначное соответствие между двумя множествами каких-либо элементов или объектов. Пусть даны множества и , а также множества отношений для и для . Если между элементами множеств и , а также между отношениями и можно установить взаимнооднозначные соотношения , , такие, что из выполнения соотношений для каких-либо элементов множества следует выполнение соотношений для соответствующих элементов множества и обратно, то множества и изоморфны, т. е. приизоморфизме сохраняется система соотношений . Всякому свойству множества соответствует аналогичное свойство множества . Полныйизоморфизм может быть лишь между геометрической фигурой и ее аналитическим выражением в виде формулы. Однако, учитывая, чтоизоморфизм связан не со всеми, а лишь с некоторыми фиксированными в познавательном смысле свойствами, можно за счет выбора соответствующих структурных элементов получить близкие к изоморфным отношения и для реальных объектов.

Гомоморфизм

Гомоморфизм (гомоморфный – подобный по форме) отличается от изоморфизма тем, что соответствие между множествами и не взаимнооднозначно, один элемент множества может соответствовать многим элементам множества . Примером гомоморфной модели является географическая карта по отношению к местности, замена небесного тела материальной точкой, представление динамики изменения содержания углерода или температуры металла в сталеплавильной ванне в виде траектории движения точки во времени (модель с сосредоточенными параметрами). В отличие от этого модель с распределенными параметрами, учитывающая граничные условия и распределение физических свойств металлической ванны не только во времени, но и в пространстве, находится в большем соответствии с принципами изоморфизма.

Аналогия

Определение аналогии

Аналогия – установление сходства в некоторых сторонах, качествах и отношениях между нетождественными объектами. Наиболее характерная схема умозаключения по аналогии такова: объект обладает признаками , , , ; объект обладает признаками , , , следовательно, объект , возможно, обладает признаком . Как видно из этого определения,аналогия не является строгим доказательством сходства объектов; для этой цели необходимо использовать другие методы, которые будут рассмотрены ниже.

Роль аналогии в науке

Аналогия же, являясь мощным генератором идей, способна скачком выводить мысль на новые ступени познания, играя роль компаса, указывающего проблемы. По мнению многих ученых большая часть знаний в мире получена с использованием метода аналогий. Так, несмотря на то, что у физиков имеются достаточно строгие математические описания, занимающие десятки печатных страниц, большую эвристическую роль сыграла предложенная Нильсом Бором модель возбужденного ядра атома в виде подогретой капли, в основу которой положена аналогия между радиоактивностью и испарением. При исследовании металлургических процессов большую роль играют холодные гидравлические модели (например, продувка жидкости воздухом), хотя количественные доказательства степени их соответствия реальным процессам во многих случаях являются весьма затруднительными.

Установление подобия между объектом и моделью

Как уже отмечалось, моделирование есть воспроизведение характеристик объекта на другом объекте, специально созданном для их изучения. Между моделью и объектом должно существовать известное подобие. Оно может заключаться или в сходстве физических характеристик модели и объекта, или функций, выполняемых моделью и объектом, или тождественности математического описания поведения объекта и модели. Определением степени соответствия между моделью и объектом занимается теория подобия, которая формирует критерии (числа) подобия.

Материалы по теме

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *