Моделирование на АВМ как пример подобия

Принцип действия АВМ как пример математическогоподобия

Операции в аналоговых вычислительных машинах (АВМ) осуществляются с непрерывно изменяющимися физическими величинами, например, напряжениями постоянного тока. Принцип действия АВМ является нагляднейшим примером математического изоморфизма или математического подобия, вытекающего из единства природы и проявляющегося в том, что разные по физической природе процессы и явления могут описываться одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями.

Обозначение рассматриваемых примеров

Рассмотрим несколько примеров.

Закон Фурье, связывающий тепловой поток в направлении с изменением температуры , описывается уравнением , где – коэффициент теплопроводности.

Закон Фика, отражающий перенос вещества в связи с изменением его концентрации в направлении , имеет вид: , где – коэффициент диффузии.

Закон Ома, записанный в дифференциальной форме, связывающий перенос электричества в единицу времени (ток ) под действием напряжения по длине проводника , имеющего удельное сопротивление , имеет вид:

Причем коэффициент можно по аналогии с предыдущими уравнениями интерпретировать как электрическую проводимость.

Как видно из сравнения, все три разные по физической природе процесса изоморфны в смысле математического описания. Для модельного эксперимента, очевидно, наиболее удобна третья зависимость, поскольку все входящие в нее параметры легко поддаются измерению. Именно поэтому устройства, реализующие эту зависимость, являются одними из основных элементов электронных аналоговых вычислительных машин.

Два подхода к моделированию на АВМ (два типа АВМ)

АВМ, являющуюся по самой своей природе моделью, можно определить как устройство, состоящее из элементов, которые, будучи сходственным образом соединены, представляют собой сложную систему, подобную в определенном смысле исходной сложной системе, взятой в качестве объекта для моделирования.

Различают два подхода к моделированию, а в связи с этим и два типа АВМ.

Первый подход

В первом случае моделируются по операциям математические уравнения, подлежащие решению, т. е. в основу берется математический изоморфизм (подобие уравнений). При этом в АВМ имеется набор операционных блоков (умножения на постоянный коэффициент, суммирования, интегрирования и др.), соединяя которые определенным образом, можно получить схему, описываемую таким же по форме дифференциальным уравнением, что и исходное. Измеряя непрерывно изменяющуюся величину, соответствующего операционного блока, получают решение исходного уравнения. Критериальные соотношения между коэффициентами исходного уравнения и машинного (коэффициенты передачи решающих блоков) находятся при этом в соответствии с первой теоремой подобия.

Второй подход

Во втором случае в основу закладывается физическая постановка задачи, исследуемая система моделируется по ее отдельным составным частям. Здесь наиболее последовательно используется принцип моделирования методом поэлементной (прямой) аналогии, находящийся в соответствии с рассмотренным выше дополнительным положением о подобии сложных систем.

Рассмотрение на примерах двух указанных подходов

Моделирование на основе математического изоморфизма

Постановка задачи

Рассмотрим на примерах особенности моделирования для двух указанных подходов.

Моделирование на основе математического изоморфизма. Задача представляется здесь в виде исходного уравнения или системы уравнений, подлежащих решению. При этом физическая интерпретация задачи не обязательна. В качестве примера для решения на АВМ возьмем линейное дифференциальное уравнение второго порядка

      (2.18)

Построение структурной схемы

Построим структурную схему соединения решающих элементов АВМ, используя рассуждения, основанные на методе неявных функций, для чего удобно разрешить это уравнение относительно старшей производной

      (2.19)
Приведенная на рис.2.3 структурная схема получена на основе следующих соображений. Предполагаем, что старшая производная (в нашем случае вторая) известна и имеется на выходе сумматора 1 в виде напряжения . Пропуская эту величину через интегратор 2, получаем первую производную в виде напряжения , а на выходе интегратора 3 – величину в виде напряжения .

Структурная схема соединения решающих элементов АВМ

Рис. 2.3 Структурная схема соединения решающих элементов АВМ

Подавая на вход сумматора 1 независимую переменную в виде напряжения в виде напряжения , а на два других входа первую производную (через инвертор 4 с обратным знаком) и величину , составляющие первую часть уравнения (19), получаем замкнутую схему, в которой будет осуществляться численное решение этого уравнения путем непрерывных подстановок в замкнутых контурах соответствующих величин напряжений с выходов операционных усилителей на входы. Операционные усилители играют здесь роль практически безинерционных автоматических регуляторов.

Введение масштабных соотношений

Построение структурной схемы представляет собой первый этап подготовки задачи. Далее, так как АВМ оперирует не с исходными переменными, а с машинными, к тому же имеющими ограниченный рабочий диапазон, например ±100 В, необходимо ввести масштабные соотношения, связывающие эти переменные, что повлечет за собой необходимость определения соотношений между коэффициентами исходного уравнения и коэффициентами передачи решающих блоков и т. д. Продолжим с этой целью рассмотрение примера, перейдя предварительно для большей физичности от структурной к принципиальной электрической схеме соединения решающих элементов (рис.2.4).

Принципиальная электрическая схема соединения решающих элементов АВМ

Рис. 2.4 Принципиальная электрическая схема соединения решающих элементов АВМ

Кроме того, учитывая, что интегратор может осуществлять также суммирование переменных на входе, совместим функции решающих блоков 1 и 2 на одном операционном усилителе 3.

Преобразования для получения критериальных соотношений

Для получения указанных критериальных соотношений необходимо проделать следующие преобразования.

Описать каждый решающий элемент соответствующим уравнением, связывающим его выход со входами. Путем необходимых подстановок и преобразований получить уравнение в машинных переменных, по виду аналогичное исходному. Заменить машинные переменные на исходные введением масштабных соотношений. Приравнивая коэффициенты при соответствующих переменных и их производных в исходном и преобразованном машинном уравнениях, получить критериальные соотношения, связывающие коэффициенты исходного уравнения с коэффициентами передачи решающих блоков и масштабами. При этом под коэффициентами передачи понимается: для -того входа -того сумматора , для интегратора .

Рассмотрение перечисленных выше преобразований

Рассмотрим перечисленные выше этапы преобразований. Интегратор-сумматор описывается уравнением

      (2.20)
или

      (2.21)
Интегратор 2 описывается соотношением

или

      (2.22)
Блок 3 умножения на постоянный коэффициент, в данном случае играющий роль инвертора, представляется соотношением

      (2.23)
Подставив выражения для промежуточных переменных из (2.22) и (2.23) в формулу (2.21), после несложных преобразований получаем уравнение в машинных переменных, описывающее физические процессы, протекающие в схеме, изображенной на рис. 8, по форме аналогичное исходному уравнению (18)

      (2.24)
Введя масштабные соотношения

      (2.25)
и подставив их в уравнение (24) получим

      (2.26)
Приравнивая коэффициенты при соответствующих переменных уравнений (2.18) и (2.26), получим критериальные соотношения, обеспечивающие не только качественное, но и количественное подобие этих уравнений, что находится в соответствии с первой теоремойподобия

.      (2.27)

Формулирование правил для составления критериальных соотношений

Правило 1

Распространив полученные выводы на случай решения линейных дифференциальных уравнений любого порядка (или моделирования объектов, описываемых такими уравнениями), можно сформулировать правила, позволяющие составлять критериальные соотношения непосредственно по структурной схеме соединения решающих элементов, не делая приведенных выше преобразований.

Коэффициент при зависимой переменной или ее производной равен произведению коэффициентов передачи решающих элементов, составляющих замкнутый контур, в котором образуется данная переменная, деленному на Масштаб времени в степени, показывающей, сколько раз нужно- проинтегрировать старшую производную, чтобы получить данную производную.

Правило 2

Коэффициент при зависимой переменной или ее производной равен произведению коэффициентов передачи решающих элементов, составляющих замкнутый контур, в котором образуется данная переменная, деленному на масштаб времени в степени, показывающей, сколько раз нужно проинтегрировать старшую производную, чтобы получить данную производную.

Моделирование на основе физической постановки задачи

Особенности подхода

Рассмотрим второй подход при моделировании, в основу которого закладывается физическая постановка задачи, анализ и синтез моделируемой системы по её отдельным составным частям. Этот подход наглядно иллюстрируется примерами, приведенными на рис.2.5, где изображена тепловая система, а также ее гидравлическая и электрическая модели – аналоги.

Определение аналогов системы

Тепловая система(а), и ее гидравлическая (б) и электрическая (в) аналогии

Рис. 2.5 Тепловая система(а), и ее гидравлическая (б) и электрическая (в) аналогии

Из сопоставления этих моделей можно видеть, что аналогами температуры , теплового сопротивления и тепловой емкости в гидравлической модели соответственно являются гидравлический напор , гидравлическое сопротивление и гидравлическая емкость (или площадь поперечного сечения сосудов); в электрической модели – электрическое напряжение , электрическое сопротивление и емкость конденсаторов .

Условия использования данного подхода

При таком подходе должен быть заранее доказан математический изоморфизм для отдельных элементов и сформулированы правила соединения элементов таким образом, чтобы математический изоморфизм распространялся на систем в целом. Для этой цели может быть использовано дополнительное положение о подобии сложных систем. При выполнении условия подобия соединяющих систему сохраняется непосредственное соответствие между физическими элементами системы – оригинала и ее модели. Например, в случае увеличения числа элементов в объекте, в данном случае тепловых сопротивлений и емкостей, добавляется соответствующее число элементов в модели при соблюдении условий их соединения.

Такой подход является очень плодотворным особенно в тех случаях, когда не имеется математического описания для всей системы в целом, но известно математическое описание для отдельных, определенным образом выделенных элементов и имеются предположения о структуре их соединений (взаимодействий). Тогда, компонуя сходственным образом соответствующие элементы в модели – аналоге и сопоставляя ее поведение с поведением объекта (оригинала), можно проверять справедливость этих предположений и делать выводы о целесообразности дальнейшего совершенствования структуры модели, отражающей представления об объекте.

Дифференциальное уравнение описывающее тепловую систему

В данном примере, если пренебречь потерями тепла в окружающую среду, каждый из трех тепловых элементов может быть описан дифференциальным уравнением

или

.      (2.28)
где — температура на выходе первого теплового элемента.

Дифференциальное уравнение описывающее электрическую систему

Аналогичное уравнение можно получить для каждого – элемента электрической цепи, изображенной на рис.2.5, в, сделав предположение, что сопротивление каждой последующей элементарной цепи существенно выше предыдущей

.         (2.29)
где — напряжение на обкладках конденсатора .

Соединение решающих элементов для тепловой системы

Моделирование исследуемой физической системы по ее отдельным составным частям может осуществляться и с помощью серийных АВМ с решающими элементами на основе усилителей постоянного тока, которых мы уже касались при рассмотрении принципа моделирования, основанного на математическом изоморфизме. В данном случае соединение решающих элементов для моделирования тепловой системы (рис.2.5) имеет вид, изображенный на рис.2.6.

Каждому тепловому элементу здесь сопоставляется элементарная решающая схема, представляющая собой инерционное звено, описываемое уравнением

.      (2.30)
где .

Схема соединения решающих элементов для моделирования тепловой системы

Рис. 2.6 Схема соединения решающих элементов для моделирования тепловой системы

При уравнение по форме аналогично уравнению (2.28). При поэлементном моделировании критериальные соотношения между коэффициентами исходных элементарных уравнений и коэффициентами передачи решающих блоков находятся весьма просто для каждого коэффициента передачи в отдельности. Например, для -того входа -того сумматора

.      (2.31)
где и – масштабы соответственно выходной и -той входной переменной;

– коэффициент при -той переменной.

То же для интегратора

.      (2.32)
где – масштаб времени.

Сравнительный анализ двух подходов

Приводя сравнительный анализ двух рассмотренных выше методов моделирования, можно отметить, что моделирование на основе изоморфизма математических операций более экономично в смысле затрат вычислительных средств, но проигрывает второму способу в смысле физической постановки и интерпретации результатов, поскольку при этом можно исследовать процессы, протекающие в любых промежуточных элементах, с учетом их взаимодействий друг с другом и, что весьма важно, даже в случаях, когда не имеется полного описания всей системы в целом. Такой подход открывает большие возможности при синтезе моделей сложных систем.

Возможно, вам будет интересно также:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *