Неявные методы решения задач в аналоговой постановке

Подготовка задач для решения на АВМ или при структурном моделировании на ЦВМ

Этапы подготовки задач

Подготовка задач для решения (моделирования) на аналоговых вычислительных машинах или при структурном моделировании (например, в системе MATLAB) на цифровых ЭВМ состоит из двух основных этапов:

  1. Составление структурных схем соединения решающих элементов в соответствии с видом исходных уравнений (при структурно-математическом моделировании) или блок-схем структурных связей между элементарными подсистемами (при элементно-физическом моделировании, методе прямой аналогии);
  2. Выбор масштабов и определение коэффициентов передачи решающих блоков в зависимости от коэффициентов исходных уравнений (критериальные соотношения).

Принцип составления структурных схем соединения решающих элементов

В основе принципа составления структурных схем соединения решающих элементов лежит метод неявных функций, практически реализующийся следующим образом. Дифференциальное уравнение решается относительно старшей производной, которая предполагается известной и пропускается через такое количество интеграторов, каков ее порядок. Полученные при этом низшие производные, включая нулевую, подаются на вход сумматора, на выходе которого предполагалась известной старшая производная. Так образуется замкнутая схема решения задачи, каждый контур в которой работает по принципу идеального безинерционного пропорционального регулятора, устанавливая напряжения в схеме в соответствии с видом исходного уравнения (с учетом масштабов). При этом непосредственно на входах операционных усилителей за счет глубокой отрицательной обратной связи поддерживаются нулевые напряжения.

Составление критериальных соотношений и определение коэффициентов

Конкретно применительно к решению линейных дифференциальных уравнений этот вопрос был рассмотрен в подразделе 2.3. Там же достаточно подробно рассмотрены вопросы составления критериальных соотношений и определения коэффициентов передачи для двух методов моделирования: структурно-математического, основанного на первой теореме подобия, и элементно-физического (прямой аналогии), основанного на дополнительном положении о подобии сложных систем.

Вопросы моделирования на АВМ, необходимые для правильной постановки задач на ЦВМ

Перечень вопросов

Рассмотрим более сложные вопросы моделирования на АВМ: решение нелинейных дифференциальных уравнений, воспроизведение степенных полиномов наиболее экономичным для АВМ методом, моделирование уравнений в частных производных, описывающих объекты с распределенными параметрами, путем сведения их к системам обыкновенных дифференциальных уравнений и др. Это позволит осуществлять более правильную постановку и при решении подобного рода задач на цифровых ЭВМ.

Воспроизведение нелинейных уравнений

Метод, лежащий в основе осуществления нелинейных операций в АВМ

Нелинейные операции в АВМ осуществляются путем использования функциональных преобразований, в основе которых лежит метод кусочно-линейной аппроксимации функций.

Подготовка к решению на АВМ нелинейных ДУ

Подготовка к решению на АВМ нелинейных дифференциальных уравнений осуществляется, в основном, таким же образом, как и нелинейных (см. раздел 2.3). Необходимо лишь учитывать, что в связи с ограничением диапазона рабочих напряжений, типовые функциональные блоки имеют собственные масштабные коэффициенты. Например, для АВМ с рабочим диапазоном В машинные уравнения функциональных блоков имеют вид:

; ;
; и т.д.

Пример процесса подготовки для решения на АВМ нелинейного ДУ 2-ого порядкаа

Рассмотрим, в качестве примера, процесс подготовки для реализации на АВМ нелинейного дифференциального уравнения 2-го порядка

Структурная схема соединения решающих элементов для его реализации представлена на рис.7.1.

Схема соединения решающих элементов для реализации нелинейного дифференциального уравнения

Рис. 7.1 Схема соединения решающих элементов для реализации
нелинейного дифференциального уравнения
1, 2 – интеграторы; 3, 4 – блоки перемножения; 5 – блок умножения на постоянный коэффициент

Описывая соотношения связи между входами и выходами решающих блоков, получаем следующую систему машинных уравнений

;
; ;
; .
После преобразований и подстановок, учитывая при этом, что — оператор дифференцирования, получаем машинное уравнение для схемы рис. 46

Введем масштабы, приняв для простоты их одинаковыми и равными , а масштаб времени . Тогда , . После подстановки этих соотношении в машинное уравнение оно принимает вид:

Приравнивая коэффициенты полученного и исходного уравнения при соответствующих переменных получаем критериальные соотношения

; ;
; .
которые могут быть получены также непосредственно на основе структурной схемы путем приравнивания произведений операторов по замкнутым контурам по правилам, аналогичным сформулированным в разделе 2.3. Дополнительно при этом следует учесть лишь собственные коэффициенты нелинейных блоков (в данном случае 0,01) и степени или произведения масштабов в соответствии с входящими в уравнение нелинейными членами (в данном случае ).

Пример процесса подготовки для решения на АВМ нелинейного ДУ 2-ого порядка

Использование метода

Этот метод позволяет весьма просто и экономично (в смысле количества решающих блоков) воспроизводить на АВМ степенные многочлены, показательные функции и другие сводящиеся к ним задачи, в том числе, для случаев представления правых частей дифференциальных уравнений в функции времени.

Пример ДУ, отражающего воздействие на систему внешней среды

Постановка задачи

Пусть, например, правая часть дифференциального уравнения

,
отражающая воздействие на систему внешней среды, т. е. вынужденное движение, описывается степенным многочленом вида

        (7.1)
Для реализации этого уравнения прямым путем (с использованием нелинейных блоков) необходимы два блока перемножения, требующие по два операционных усилителя, сумматор, а также интегратор для превращения времени в линейно нарастающее напряжение, т. е. шесть решающих блоков. Можно показать, что уравнение (7.1) можно решить с помощью трех интеграторов.

Идея метода определяющих ДУ

Используем для этого метод определяющих дифференциальных уравнений, идея которого заключается в следующем. Продифференцируем уравнение (7.1) столько раз, каков порядок полинома. Получаем следующую систему определяющих дифференциальных уравнений:

        (7.2)

Начальные условия:

; ; .

Схема решения системы определяющих ДУ

 Схема решения степенного полинома методом определяющих дифференциальных уравнений

Рис. 7.2 Схема решения степенного полинома методом определяющих дифференциальных уравнений

Решая эту систему уравнений путем последовательного интегрирования (рис.7.2), получаем значение , удовлетворяющее уравнению (7.1). Такой подход целесообразен только для аналоговой техники, где операция интегрирования выполняется весьма просто и быстро.

Получение экспоненты на основе использования метода определяющих ДУ

Таким же способом можно получить экспоненту, не используя функциональный блок. Например, имеем: .

Дифференцируя это уравнение, получаем: .

Учитывая первое соотношение, имеем:, начальные условия: .

Это уравнение может быть реализовано на одном интеграторе с обратной связью (рис.7.3). Его решением является экспонента, начинающаяся в точке a. При этом отпадает необходимость в кусочно-линейной аппроксимации экспоненты на функциональном блоке, требующем к тому же двух операционных усилителей.

Схема воспроизведения экспоненты

Рис. 7.3 Схема воспроизведения экспоненты

Воспроизведение синусоидальной зависимости на основе использования метода определяющих ДУ

Аналогичным путем воспроизводится синусоидальная зависимость. Например, имеем:

        (7.3)
Дифференцируя, получаем:

        (7.4)
        (7.5)
С учетом уравнения (253) имеем

        (7.6)
Начальные условия: ; .

Схема реализации уравнения (7.6) представлена на рис.7.4, закономерность изменения напряжения в ней удовлетворяет уравнению (7.3), т. е. синусоида может быть получена как решение дифференциального уравнения второго порядка, в котором отсутствует первая производная (консервативное звено).

Схема воспроизведения синусоиды

Рис. 7.4 Схема воспроизведения синусоиды

Воспроизведение на АВМ уравнений в частных производных

Объекты, описываемые уравнениями в частных производных

Такими уравнениями описываются, как показано в разделе 3.3, объекты с распределенными параметрами, характеризующиеся полями (температуры, концентрации и др.), изменяющимися как во времени, так и в пространстве.

Примеры уравнений в частных производных

Здесь же представлен вывод уравнения теплопроводности для одномерного случая, которое имеет следующий вид:

        (7.7)
Таким же по виду уравнением может описываться процесс диффузии.

Сеточные модели – класс АВМ для решения уравнений в частных производных

Для решения уравнений в частных производных предназначен специальный класс АВМ — сеточные модели, явившиеся дальнейшим развитием метода электрогидродинамической аналогии или метода сплошных сред, основанного на прямой (поэлементной) аналогии между электрическими процессами в электропроводной среде, к границам которой приложены электрические потенциалы, и, например, процессами переноса тепла в стенке, к границам которой приложена определенная разность температур.

Структурно-математические АВМ для решения уравнений в частных производных

Однако решение таких уравнений возможно также с помощью структурно-математических АВМ, предназначенных для воспроизведения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод выражения производной через значения функции в окрестности некоторой точки

Остановимся на одном из методов сведения уравнения в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, основанном на выражении производной через значения функции в окрестности некоторой точки.

Для дискретных значений аргумента с шагом

;
имеем соответственно значения функции

.
Представим значения функций и в виде ряда Тейлора:

,        (7.8)
        (7.9)
Вычитая из (7.9) уравнение (7.8) имеем ,

откуда получаем значение первой производной в точке

:

,        (7.10)
Сложив (7.8) и (7.9), имеем

,
откуда значение второй производной в точке с точностью до равно:

        (7.11)
Для многочлена второй степени значения производных ,и т. д. равны 0.

Выражения (7.10) и (7.11) могут быть использованы для представления производных ичерез значения функции в окрестных точках.

Задача нестационарного распределения температуры для внутренних точек по толщине пластины

Рассмотрим в качестве примера программирование для АВМ задачи нестационарного распределения температуры для внутренних точек по толщине бесконечно длинной и широкой пластины (стенки) при заданных значениях функций ина ее границах (рис.7.5).

К задаче моделирования теплопередачи

Рис. 7.5 К задаче моделирования теплопередачи

Здесь — функция времени и координаты , удовлетворяющая уравнению теплопроводности

        (7.12)
где

  • — коэффициент теплопроводности;
  • — удельная теплоемкость.

Решение уравнения (7.12) должно соответствовать краевым условиям , и начальным условиям — функция, характеризующая распределение температур по толщине стенки в первый момент времени. Для каждой из точек температура будет функцией лишь одной переменной — времени, т. е., а уравнение (7.12) примет вид:

        (7.13)
Выразим вторую производную через значения функции в точке и двух соседних точкахив соответствии с соотношением (7.11)

Тогда уравнение (7.13) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

;
, , ,         (7.14)
Таких уравнений должно быть столько, сколько выделяется точек на оси .

Схема моделирования процесса теплопередачи на АВМ

Схема моделирования процесса теплопередачи на АВМ (рис.7.6) представляет собой ряд последовательно соединенных инерционных звеньев с обратными связями, отличается большой физичностью и наглядностью, дает, например, возможность регистрировать графики изменения температуры во времени для каждого выделенного слоя (равноудаленных от границы стенки точек).

Схема моделирования процесса теплопередачи

Рис. 7.6 Схема моделирования процесса теплопередачи

Подобным же образом с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно представлять и другие объекты с распределенными параметрами, описываемые уравнениями в частных производных.

Материалы по теме

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *