Основы теории подобия

Задачи теории подобия

Теория подобия, наряду с решением практических задач определения степени соответствия модели и объекта, в значительной мере играет роль методологической базы моделирования. Эта сторона вопроса и теснейшая связь отражены в книге В. А. Веникова.

Рассмотрим основные положения и понятия этой теории, в том числе три теоремы о подобии и два очень важных, с точки зрения практики построения моделей, дополнительных положения.

Определение параметров процесса

Переменные, характеризующие изменения состояния процесса во времени или пространстве, будем называть параметрами процесса. Эти процессы протекают в системе, состоящей из элементов, которые характеризуются своими параметрами, называемыми параметрами системы.

Подобие процессов(явлений)

Процессы (явления) считаются подобными друг другу, если существует некоторое соответствие сходственных величин рассматриваемыхсистем: положение точек, геометрических размеров и т. д., т. е. параметров процессов.

На практике обычно имеют дело с приближенным, а не с абсолютным подобием, т. е. системы считаются подобными, если подобны наиболее существенные с точки зрения поставленной задачи процессы.

Обычно соотношения подобия имеют следующий вид:

      (2.1)
где; -сходственные параметры процессов и элементов рассматриваемых систем;

— коэффициент подобия или масштаб сходственных параметров.

Теоремы о подобии

Первая теорема подобия

Явления, подобные в том или ином смысле (физически, математически, кибернетически и т. д.) имеют некоторые одинаковые сочетания параметров, называемые критериями (числами)подобия.

Например, изучаются два процесса, описываемые уравнениями, члены которых являются однородными функциями параметров или их производных:

для первого процесса:

      (2.2)
       (2.3)
для второго процесса:

      (2.4)
где

      (2.5)
Уравнения (2) и (4) можно привести к безразмерному виду делением на -й член

      (2.2а)
      (2.4а)
Поскольку процессы подобны, то между сходственными параметрами существуют соотношения

      (2.6)
После подстановки этих соотношений в уравнение (2.3) можно вследствие однородности функции , вынести масштабы , , … , в соответствующих степенях за знак функции в виде общего множителя:

      (2.7)
или

      (2.8)
При подстановке выражения (2.8) в формулу (2.2а) получим

      (2.2б)
Вследствие однородности уравнения (2.2) общие множители для каждого члена равны, т.е.

      (2.9)
Следовательно, уравнения (2.2б) и (2.4а) оказываются тождественными, а между соответствующими членами уравнений (2.2а) и (2.4а) существуют соотношения:

      (2.10)
Обобщая на подобных процессов, получаем

      (2.11)
где означает «соответственно одинаково, для всех рассматриваемых процессов».

Критерии или числа подобия — отношения членов уравнения, представляющие собой безразмерные комбинации параметров, численно одинаковые для всех подобных процессов.

Обозначая критерий через , получаем краткую формулировку первой теоремы: у всех подобных процессов. Это достаточное условие существования подобия.

Рассмотренный способ нахождения чисел подобия основан на анализе уравнений процессов.

Вторая теорема подобия

Известна под названием — теоремы. Она гласит: всякое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлено зависимостью между числами подобия, т. е. уравнением, связывающим безразмерные величины, полученные из участвующих в процессе параметров.

Можно осуществить замену переменных, сократив их число с размерных величин до безразмерных (запись в критериальной форме). При этом весьма упрощается обработка аналитических и экспериментальных исследований.

Переход к безразмерным соотношениям (к связям между критериями) позволяет распространить результаты, полученные при исследовании конкретного процесса, на ряд подобных процессов, т. е. открывается возможность обобщений. Причем можно находить критериальные соотношения, не имея математического описания процесса в виде уравнения, а зная только все влияющие величины и их размерности.

Например, связи между параметрами процесса и параметрами элементов системы, в которой он протекает, можно представить следующим образом:

      (2.12)
где

Эта зависимость называется полной, если она учитывает все связи между входящими в нее величинами. Тогда она не меняется при любом значении единиц измерения физических величин.

Это правило нарушается, если уравнение отражает не все связи между переменными, а только некоторые частные зависимости, справедливые при определенных условиях.

Например, для какого-то частного случая можно записать уравнение в следующем виде:

      (2.13)
где

Это неполное уравнение, зависящее от системы единиц, может перейти в полное, если раскрыть функциональную связь

В качестве примера можно привести уравнение Гей-Люсака , которое является неполным, если при понимать некоторую постоянную численную величину. Оно перейдет в полное, если раскрыть зависимость от давления и универсальной газовой постоянной :

-теорема относится только к процессам, отражаемым полными уравнениями и записанными в определенной системе единиц. Покажем, что в соответствии с этой теоремой можно перейти от зависимости между физическими величинами (исходными переменными) к зависимости между критериями.

Поскольку уравнение (2.12), по предыдущему допущению, полное и однородное, то все входящие в негопараметры можно выразить в относительных величинах, в долях от некоторых выбранных величин , имеющих те же размерности, что и .

Тогда уравнение (2.12) можно записать следующим образом:

      (2.14)
Не все величины можно выбирать произвольно. Например, выбрав величины, измеряющие ток и напряжение, нельзя независимо выбрать величины, измеряющие мощность и сопротивление. Можно определить, какое число независимых величин выбирается из общего множества и найти способ выбора остальных, рассмотрев формулы размерностей этих величин, входящих в указанное соотношение.

Поскольку независимых величин выбираются произвольно, то можно принять, что . Тогда (2.14) принимает вид

      (2.15)
или

      (2.16)
где – числа подобия.

Это уравнение отвечает формулировке второй теоремы подобия, представляя связь между числами подобия вместо исходных параметров.

Оно может быть разрешено относительно одного из чисел подобия

      (2.17)
Соотношение такого вида (математическая формулировка -теоремы) называется критериальным уравнением. Оно показывает, что одно изчисел подобия является функцией остальных . Зависимый критерий при соблюдении независимых выполняется автоматически.

Третья теорема подобия

Третья теорема формулирует условия, необходимые и достаточные для практической реализации подобия.

Она утверждает: для подобия явлений должны быть соответственно одинаковыми определяющие числа подобия (содержащие независимыепараметры процессов и систем) и подобны условия однозначности (параметры и зависимости, выделяющие данное явление из всего многообразия явлений данного вида).

Дополнительное положение о подобии сложных систем

Подобие сложных [13] систем , состоящих из нескольких подсистем, соответственно подобных в отдельности , обеспечивается подобием всех сходственных элементов, являющихся общими для подсистем (рис.2.1).

Или в другой формулировке: две независимые подсистемы , по отдельности подобные двум другим системам , будучи сходственно соединены друг с другом через третьи системы , образуют две новые сложные системы , которые будут подобны, если только соединяющие системы подобны друг другу ( подобна ).

Подобие сложных систем

Рис. 2.1 Подобие сложных систем

Например, если имеются с одной стороны реальная система автоматического регулирования (рис.2.2,а), с другой стороны – модели объекта , измерительного прибора , исполнительного механизма , регулятора и регулирующего органа , то, соединив их сходственным образом, получим модель системы автоматического регулирования (рис.2.2,б).

Подобие при вероятности характере изучаемых явлений

Все теоремы, относящиеся к детерминировано – заданным системам, будут справедливы для случаев с вероятностным характером изучаемых явлений при соблюдении следующих условий.

Должны быть одинаковыми плотности вероятностей для сходственных параметров, представленных в виде относительных характеристик, а также математические ожидания и дисперсии (с учетом масштабов). Дополнительным условием подобия является требование физической реализуемости сходственной корреляции между стохастически заданными параметрами, входящими в условия однозначности.

 

Синтез структуры модели на основе положения о подобии сложных система

Рис. 2.2 Синтез структуры модели на основе положения о подобии сложных система

Например, корреляция между расходами газообразного топлива и воздуха, подаваемыми в нагревательную печь, вполне объяснима физически, поскольку для сжигания единицы объема газа требуется определенный объем воздуха (при условии полного смешения и дожигания).

Возможно, вам будет интересно также:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *