Термодинамические аналогии в экономике

Функциональные подсистемы системы «экономика»

Экономика, как известно, представляет собой достаточно сложную иерархическую система, которую условно можно разделить на три глобальных функциональных подсистемы: производство товаров, потребление и экономический обмен, в котором ведущая роль принадлежит рынку. Границы между подсистемами производства и потребления являются весьма условными, поскольку в многоступенчатой системе переработки природного сырья (нефти, газа, угля, руды, зерна и т.д.) в какие-то продукты (металл, бытовые приборы, средства электроники, летательные аппараты и т.д.) одни и те же агенты могут выполнять функции потребителей одних ресурсов и производителей других, как правило, более наукоемких и информационно емких продуктов. Это еще раз подчеркивает ведущую роль в этих процессах экономического обмена, в котором агенты (потребители-производители) аналогично молекулам газа сталкиваются на рынке, обмениваясь продуктами, капиталом и информацией.

Критерий эволюции в термодинамике и экономике

Обратимся к §4 гл. 4, где рассматривается вывод критерия эволюции для нелинейной термодинамической системы. Здесь приращение производства энтропии представляется состоящим из двух частей

        (9.1)
Термодинамика: химические реакции диффузия

Экономика: наукоемкие технологии рыночный обмен

Как можно видеть из сопоставлений, показанных на этой схеме, наукоемкие технологии, как и химические реакции, могут оказывать дестабилизирующие воздействия на соответствующие системы: химические реакции создают локальные флуктуации концентраций и температур, а появление новой наукоемкой продукции дестабилизирует рынок. Рыночный же обмен, подобно диффузии, способствует стабилизации, действуя в направлении выравнивания спроса и предложения.

Различие в уровне развития стран как пример неравновесных процессов

В последние годы благодаря развитию наукоемких информационных технологий наблюдается невиданное ускорение научно-технического прогресса, но в то же время это ведет к еще более резкому различию в уровнях развития и благосостояния между странами, обладающими высокими технологиями, и сырьевыми странами. Достаточно показательны данные о динамике соотношения валового внутреннего продукта (ВВП) на душу населения стран Запада и остального мира за последние 2000 лет (в долларах США 1990 года), приведенные на рис. 9.1

Динамика ВВП на душу населения

Рис. 9.1 Динамика ВВП на душу населения

Основной движущей силой такого резкого различия уровней благосостояния является высокая доходность науко- и техникоемкой продукции, что можно проиллюстрировать следующими очень показательными данными. Если продажа в мировом рынке одного килограмма сырой нефти приносит 2 – 2,5 цента прибыли, то килограмм бытовой техники дает 50 долларов, килограмм авиационной техники — 1000 долларов, а килограмм электроники и информационной техники — до 5000 долларов. Благодаря международному обмену (глобализация рынков сбыта) и перенесению «нижних этажей» технологий в менее развитые страны это различие несколько нивелируется, однако, остается достаточно большим.

Анализ равновесных процессов

После столь показательной иллюстрации неравновесных процессов вернемся с глобального уровня рыночной экономики на локальный и уделим основное внимание анализу равновесных процессов.

В состоянии, близком к равновесному (линейная термодинамика), для составляющих уравнения (9.1) справедливо следующее соотношение:

        (9.2)
То есть дестабилизирующая и стабилизирующая составляющие уравновешены, и в такой системе, в соответствии с теоремой о минимуме производства энтропии (гл. 3), должна иметь место асимптотическая самостабилизация с учетом наложенных на нее ограничений (потока инвестиций, капитала, товаров, цен). Рассмотрим эти вопросы несколько подробнее.

Использование аналогий применительно к анализу экономических процессов

Как оказалось, имеется достаточно большой перечень источников, приведенных в, в которых сделаны попытки использования физических, термодинамических и других аналогий применительно к анализу экономических процессов. Причем в ряде случаев такие попытки являются достаточно конструктивными, поскольку позволяют более глубоко осмыслить механизмы сравниваемых разных по физической природе процессов. Далее в своем изложении мы будем опираться на работу, авторам которой удалось совместить математическую строгость изложения с физической сущностью и наглядностью рассматриваемых процессов. При этом, учитывая необходимость ограничения объема данного раздела, нам придется в ряде случаев поступиться строгостью и последовательностью изложения, ориентируясь главным образом на подчеркивание аналогий качественного плана.

Термодинамические аналогии задачи планирования производства и принцип Ле-Шателье

Постановка задачи

Рассматривается [78] простая задача планирования, когда выпуск продукции и затраты ресурсов являются скалярными величинами. В качестве аналогии представляется цилиндр с двумя упорами, между которыми могут перемещаться две газонепроницаемые перегородки (рис. 9.2).

Термодинамическая аналогия задачи планирования

Рис. 9.2 Термодинамическая аналогия задачи планирования

Перпендикулярно поверхности правой перегородки приложена внешняя сила . Пространство между перегородками заполнено газом,система находится в термодинамическом равновесии, и — координаты левой и правой перегородки относительно начального положения. Перемещая левую перегородку с помощью постоянной внешней силы, т.е. совершая работу над системой (превращая исходные ресурсы в продукты), необходимо получить максимально возможную работу.

Оптимальное решение

В этой задаче оптимальное значение . Если процесс происходит без поступления тепла извне, то для любых одновременно наблюдаемых положений перегородок в соответствии с законом сохранения энергии будет выполняться неравенство

        (9.3)
означающее, что абсолютная величина работы (доход) не может быть больше работы, совершаемой над системой (стоимость затраченных ресурсов).

Задача спроса и предложения

Постановка задачи

Далее рассмотрим задачу спроса и предложения, от которой можно перейти к принципу Ле Шателье.

За основу берется задача о рациональном поведении экономических агентов, под которыми понимаются предприятия, потребители и т.п. Она формируется, как максимизация некоторой функции полезности (дохода, прибыли) в зависимости от внешне задавливаемых параметров (цен). Принимают, что совокупные издержки производства определяются вектором выпуска продукции и задаются некоторой выпуклой функцией , т.е. предельные издержки не уменьшаются с ростом выпуска.

Прибыль

Прибыль равна разности дохода и издержек:

        (9.4)
 

Максимальная прибыль

Максимальная прибыль при заданных ценах

        (9.5)
 

Функция предложения выпуска

Решением задачи (9.5) определяется вектор выпуска продукции (), соответствующий максимальной прибыли. По определению этот вектор удовлетворяет следующему равенству:

        (9.6)
Он является функцией цены и называется функцией предложения выпуска.

Связь функции предложения выпуска и максимальной прибыли

Далее в показано, что производная от максимальной прибыли равна функции предложения выпуска

        (9.7)
далее вычисляется полный дифференциал функции прибыли (, ) и делается ряд вычислений (мы их опускаем), из которых следует, что увеличение цены некоторого продукта не приводит к снижению предложения его выпуска, т.е.

        (9.8)
а также, что

        (9.9)
то есть влияние изменения цены -го продукта на предложение -го и влияние изменения цены -го продукта на предложение -го по знаку и величине одинаковы.

Принцип Ле Шателье — Самуэльсона на основе задачи спроса и предложения

Переходя от соотношения (9.8) к конечным разностям и учитывая соотношение (9.9), получают неравенство вида:

которое после суммирования по принимает вид:

        (9.10)
Это соотношение является одной из версий принципа Ле Шателье, который в экономике носит название принципа Ле Шателье — Самуэльсона.

Принцип Ле Шателье — Самуэльсона на основе анализа реакции находящейся в равновесии экономической системы на изменение внешних условий

Еще одну из версий этого принципа можно получить на основе анализа реакции находящейся в равновесии экономической системы на изменение внешних условий. Здесь, как и в предыдущем случае, прибыль (, ) является функцией векторного параметра , отражающего внешние условия системы (например, цены на продукцию), и вектора , определяемого системой (объем выпуска продукции).

Делается допущение, что и — пара эффективных (равновесных) точек, в которых прибыль достигает строгого максимума по при соответствующих значениях параметра . Изменению значения от значения к значению , т.е. , соответствует смена оптимальных значений , т.е. .

Пусть изменение параметра таково, что величина меньше , т.е. внешнее воздействие (изменение цены) снизило прибыль. Так как по определению эффективной точки

то, перейдя в состояние , система увеличит свою прибыль по сравнению с состоянием .

Таким образом, при изменении внешнего воздействия (цены на продукцию), системаереходит в новое равновесное состояние , в котором влияние этого воздействия (падение прибыли) ослабляется.

Это есть содержательная формулировка принципа Ле Шателье применительно к экономике.

Если у термодинамической системы в состоянии равновесия достигается максимум энтропии (или минимум свободной энергии Гиббса), то в рассмотренном примере точки равновесия, по определению, максимизируют функцию прибыли.

Применимость принципа Ле Шателье

Фундаментальная же основа такой аналогии заключается в том, что принцип Ле Шателье является математическим результатом, справедливым для любой системы, у которой в «точке равновесия» некоторая функция достигает максимального значения.

Принцип Ле Шателье в условиях изменения цен

Расписав и продифференцировав приращения прибыли, в продолжение рассмотренного выше примера можно получить еще одну математическую формулировку принципа Ле Шателье в виде:

        (9.11)
или в виде:

        (9.12)
Из этих формул видно, как варьировать выпуском продукции в условиях изменения цен.

Термодинамический аналог принципа Ле Шателье

Приведем для сопоставления термодинамический аналог принципа Ле Шателье в виде:

         (9.13)
откуда следует, что при изменении температуры или давления путем воздействия извне системавыбирает такие варианты из набора последовательно-параллельных химических реакций, которые компенсируют это воздействие. Например, при повышении температуры и давления интенсифицируются эндотермические реакции и тормозятся реакции с повышенным газовыделением.

Модель экономического обмена и равновесные цены

Модель экономического обмена и равновесные цены

Как и в термодинамике, в системе экономического обмена можно выделить два уровня поведения и описания: микроуровень взаимодействия отдельных участников рынка (аналог взаимодействия молекул) и макроуровень, где описание идет на уровне статистических характеристик. Если молекулы, сталкиваясь, перераспределяют свои импульсы и энергию, то при совершении сделок между участниками рынка происходит обмен товаров, денег и услуг. При этом путем осреднения взаимодействий микроуровня устанавливаются такиепараметры , как средняя цена како-то вида продукции, курс ценных бумаг и т.п.

Модель экономического обмена, исходными элементами которой являются экономические агенты

Постановка задачи

Рассмотрим с этих позиций простую модель экономического обмена, в которой исходными элементами являются экономические агенты.

На рынке фигурирует видов продукции — . Обозначим через количество -го продукта у — го агента. Значения этих переменных, естественно, не могут быть отрицательными.

Функция полезности каждого агента

Предполагают, что каждый агент имеет свою функцию полезности , с помощью которой он определяет для себя ценность вектора продуктов . Основным свойством функции является то, что при прочих равных условиях агент предпочтет иметь набор продуктов , а не, если . Таким образом, функция упорядочивает комплекты продуктов по их ценности для данного агента и напоминает аналогию с функцией состояния в термодинамике.

Вектор-строка цен на рынке

Будем считать, что цены на товары устанавливает рынок, и каждый отдельный агент повлиять на них не может. Обозначим через вектор — строку цен на рынке.

Капитал агента в начальный момент времени

Принимаем, что если в начальный момент времени агент имел комплект продуктов , то его капитал составлял величину

        (9.14)
Взаимодействуя с другими, каждый агент стремится максимизировать свою функцию

        (9.15)
При ограничении на капитал

        (9.16)
 

Функция Лагранжа

Для задачи (9.15) — (9.16)записывается функция Лагранжа в виде

        (9.17)
где

и — множители Лагранжа, и решение этой задачи сводится к нахождению следующей системы уравнений и неравенств.

          (9.18)
 

Продукты, находящиеся в оптимальном наборе

Из этой системы следует, что для тех продуктов, которые имеются в оптимальном наборе, выполняется неравенство

        (9.19)
Производная есть предельная полезность продукта , а множитель дает оценку прироста функции полезности (отдачи капитала) при увеличении на один рубль капитала — го агента. К термодинамической аналогии этого множителя и соотношения (9.19) мы обратимся несколько ниже.

Объединение двух экономических агентов

Объединенный капитал

Здесь же рассмотрим вариант объединения двух агентов. Образовавшийся при этом агрегат будет располагать объединенным капиталом :

Обобщенная функция полезности

Вопрос о функции полезности в общем случае является достаточно сложным, но мы для простоты остановимся на гипотезеаддитивности, т.е.

        (9.20)
Векторы и удовлетворяют ограничениям

        (9.21)
 

Максимизация обобщенной функции полезности

Полагая, что агент — агрегат, естественно, стремится максимизировать свою функцию полезности, приходим к задаче

        (9.22)
Решение задачи (9.21) — (9.22) эквивалентно решению следующей системы уравнений и неравенств:

        (9.23)
Исключая множитель в двух первых уравнениях этой системы, получают

        (9.24)
Обозначим через решение задачи (9.21) — (9.22). Тогда для тех продуктов , которые присутствуют в каждом из комплектов, т.е. удовлетворяют обоим неравенствам , из соотношения (9.24) с учетом (9.23) следует, что

        (9.25)
Таким образом, в точке оптимума предельные полезности таких продуктов совпадают для обеих функций .

Объединение r экономических агентов

Система соотношений (9.23) и ее следствие, например, вида (9.25), могут быть обобщены на случай объединения экономических агентов с функцией полезности вида

и общим капиталом .

Для каждого продукта , который присутствует во всех комплектах , составляющих оптимальное решение такой задачи, в точке оптимума равны все предельные функции полезности, т.е.

        (9.26)
 

Термодинамическая аналогия на примере модели экономического обмена

Давление и объем — вектор продуктов (товаров)

Обратимся теперь к термодинамической аналогии. Будем рассматривать один моль идеального газа, равновесное состояние которого полностью определяется двумя параметрами — давлением и объемом .

Для экономического агента этим параметрам соответствует вектор продуктов (товаров) .

Энтропия — функция полезности

Изолированная система спонтанно переходит в состояние с максимальным значением энтропии, а экономический агент целенаправленно выбирает комплект продуктов, максимизирующий функцию полезности с учетом ограничений на капитал.

Таким образом, функцию полезности агента можно сопоставить с энтропией газа.

Внутренняя энергия (энтальпия) — капитал

А аналогом капитала (в зависимости от ситуации) может служить либо внутренняя энергия , либо энтальпия .

Если предположить, что термодинамическая система замкнута адиабатически, и связь с окружающей средой реализуется с помощью постоянного внешнего давления, то капиталу можно сопоставить энтальпию газа, «наличным» деньгам внутреннюю энергию, (постоянным) ценам на продукты — (постоянное) внешнее давление, запасам продуктов — объем газа .

Тогда покупке — продаже товаров при фиксированном капитале соответствует изменение объема газа при постоянной энтальпии.

Обратная абсолютная температура газа — множитель Лагранжа

Очень интересно задать вопрос, а с чем же можно сопоставить температуру газа?

Продифференцировав известное из термодинамики уравнение

с учетом термодинамического тождества

можно получить следующее соотношение:

        (9.27)
Сравним с выражением для оптимального значения множителя Лагранжа в задаче (9.15) — (9.16)

        (9.28)
где

— максимальная величина функции полезности.

Так как энтальпия сопоставляется с капиталом , энтропия с функцией полезности, то сравнение формул (9.27)- (9.28) показывает соответствие множителя Лагранжа обратной абсолютной температуре системы. Множитель показывает, на сколько возрастает максимальное значение функции полезности при увеличении капитала на малую величину.

Связь энтропии и энтальпии с величиной обратной абсолютной температуры

Аналогичный смысл для энтропии и энтальпии имеет величина 1/:

        (9.29)
Таким образом, из формул (9.27) и (9.29) видно, что повышение температуры снижает прирост энтропии от добавления малой величины «ресурса» — энтальпии.

Полезность рассуждений по аналогии между экономическими и термодинамическими процессами

На этом примере следует еще раз подчеркнуть полезность метода рассуждений по аналогии. В данном случае аналогия между экономическими и термодинамическими процессами позволяет глубже понять смысл повышения температуры в тепловых процессах, что позволяет с учетом конкретных условий определять средства и способы, направленные на повышение степени эффективности использования тепловой энергии.

Сопоставление модели объединения двух экономических агентов с моделью взаимодействия двух термодинамических система

Постановка задачи

Продолжая эти аналогии, сопоставим рассмотренную выше модель объединения двух экономических агентов с простой моделью взаимодействия двух термодинамических система в виде цилиндра с двумя газонепроницаемыми стенками (рис. 9.3).

Модель экономического обмена

Рис. 9.3 Модель экономического обмена

Обозначим соответственно объем газов, внутреннюю энергию, энтальпию и энтропию, через ( =1 — левая часть, =2- правая).

Если убрать среднюю перегородку, то те же параметры объединенной системы будут равны

что полностью соответствует рассмотренным выше соотношениям агента — агрегата, т.е. здесь наблюдается достаточно хорошая аналогия.

Проблема формирования цен товаров на рынке на основе модели обмена

Общее количество продукта, находящегося у всех агентов

Углубляя эту термодинамическую аналогию, рассмотрим проблему формирования цен товаров на рынке на основе рассмотренной выше модели обмена. В рамках этой модели общее количество продукта , находящегося у всех агентов, остается постоянным и определяется начальными условиями:

Если, например, цена некоторого продукта начнет падать, то, естественно, все агенты будут стремиться приобретать этот продукт с учетом условий функции полезности до тех пор, пока спрос не будет превышать предложение, которое равно .

Бюджетное множество агента

Остановимся кратко на формулировании спроса, где важную роль играет влияние цен на поведение агентов. При некоторой вектор — строке цен агент имеет капитал

        (9.30)
который позволяет ему претендовать на любой набор продуктов, стоимость которого не превышает величины, определяемой правой частью этого соотношения. При этом множество доступных для -го агента продуктов называется его бюджетным множеством.

Из определения функции спроса экономического агента следует, что она ставит в соответствие вектор — строке цен вектор из его бюджетного множества , максимизирующий функцию полезности . Функция спроса обладает также следующим свойством: для любой вектор — строки цен .

Увеличение функции полезности

Опуская достаточно строгие выводы, касающиеся связи функции спроса и функции полезности, приводим выполняющееся для любого вектора неравенство

        (9.31)
Из которого можно сделать вывод, что, путем предельного перехода к некоторой более узкой подпоследовательности продуктов и цен (функции цен), можно увеличить функцию полезности.

Здесь мы не можем удержаться от соблазна сделать интересный вывод для технико-технологических система, заключающийся в том, что для любой технологии всегда может быть найден более ограниченный (но в то же время более эффективный) набор сырья, топлива, технологических операций (например, температурных режимов), который приводит к снижению производства энтропии. В пределах наших аналогий это соответствует повышению экономической функции полезности.

Суммарный спрос на продукт

После такого отступления вернемся к продолжению примера с формированием цен. Фиксируем, что любая совокупность цен определяет суммарный спрос на продукт :

        (9.32)
 

Условие равенства спроса и предложения

Равенство спроса и предложения в рассматриваемой модели обмена определяется условием

        (9.33)
Совокупность цен , удовлетворяющиеся этому уравнению, называют системой равновесных цен, а совокупность векторов — соответствующим равновесным распределением.

Термодинамическая аналогия

Начальное положение перегородок цилиндров — начальный набор продуктов

В рассмотрена достаточно простая (для случая двух продуктов), но очень наглядная термодинамическая аналогия, иллюстрирующая процесс установления равновесных цен.

На рис. 9.4 показаны два цилиндра с единичными сечениями, в которых имеются движущиеся, непроницаемые для газа перегородки.

Модель подключения к рынку с постоянными ценами

Рис. 9.4 Модель подключения к рынку с постоянными ценами

В начальный момент отверстия и закрыты, а под перегородками находится несжимаемая жидкость с объемами и , что аналогично начальному набору продуктов. Над перегородками находится газ, и верхние части цилиндров сообщаются, обеспечивая возможность термодинамического равновесия. Давление на днищах цилиндров, создаваемое газом и весом жидкостей соответственно и.

«Рынок» с установившимися ценами

Сначала имитируется подключение системы к «рынку» с установившимися ценами, путем присоединения к отверстиям и шлангов с жидкостью (они на рисунке не показаны) с постоянными давлениями и . Эта система отвечает случаю, когда один экономический агент не может сколько-нибудь существенно повлиять на цены рынка и . При этом рассматриваемая система перейдет в новое равновесное состояние, при котором давление на дне цилиндров будет равно соответственно и , а объемы жидкостей — и .

Локализованный, но внутренне замкнутый «микрорынок»

Далее рассмотрим более интересный случай (см. рис. 9.5).

Модель экономического обмена с равновесными ценами

Рис. 9.5 Модель экономического обмена с равновесными ценами

Замкнем эту систему на аналогичную систему таким путем образуем локализованный, но внутренне замкнутый «микрорынок». Равновесие в этой объединенной системе наступит при условии, когда сравняются давления в точках и , и , что является очевидным из физических соображений, в то время как строгое математическое доказательство теоремы существования равновесных цен не является столь простым. Как показано в возможны и очень плодотворны и более глубокие аналогии с количественным расчетом термодинамических параметров.

Экономическая динамика

Роль фондовооруженности в экономической динамике

Постановка задачи

Мы же, в заключение этого раздела, коротко остановимся еще на одном интересном вопросе — экономической динамике.

Этого вопроса мы уже коснулись в самом начале данного раздела в примере, проиллюстрированном на рис. 9.1, где показано резкое ускорение динамики ВВП в последние десятилетия, что связано, прежде всего, с ростом наукоемкости продукции, а это, в свою очередь, обусловлено ростом фондовооруженности. Причем, как видно из рисунка, различия эти для группы высокоразвитых стран и остального мира весьма велики.

Не имея возможности, в связи с ограничением объема, подробного и последовательного изложения этой интересной проблемы, мы акцентируем свое внимание именно на роли фондовооруженности в экономической динамике. При этом в качестве аналогии используются функция и уравнения Гамильтона, обычно применяющиеся для исследования системав аналитической механике.

Рассматривается однопродуктовая экономическая система на временном отрезке {O, T}. Показателем экономического развития служит фондовооруженность труда (на одного работающего), от которого зависит количество продукции в единицу времени на одного работающего (средняя производительность труда). Продукция распределяется между потреблением и инвестициями в расширение производства. Среднее потребление одним работающим в единицу времени — , капиталовложения на душу населения в единицу времени — . Для упрощения принято, что все население трудится.

Условие баланса продукции

Условие баланса продукции представляется следующим уравнением

        (9.34)
или в несколько ином виде

        (9.35)
где

— доля валового дохода, инвестируемая в производство, называемая нормой накопления.

Скорость изменения фондовооруженности

Темп выбытия фондов обозначают — , а темп роста занятых в производстве — . Тогда с учетом инвестиций скорость изменения фондовооруженности описывается соотношением

        (9.36)
 

Выбор нормы накопления для максимизации потребления на плановом периоде

Естественным представляется, что задачей производства является обеспечение потребностей общества, что математически можно сформулировать следующим образом. Необходимо таким образом выбрать норму накопления , чтобы максимизировать приведенное потребление на плановом периоде:

        (9.37)
В этом критерии — норма дисконтирования, соотносящая текущее потребление с будущим, отражающая тот факт, что общество (или индивидуум) данный объем потребления в настоящем, естественно, ценит больше, чем в будущем.

Фондовооруженность в конце планируемого периода

Следует также учитывать, что в конце планируемого периода фондовооруженность должна быть не ниже некоторого значения:

обеспечивающего определенный уровень производства за плановым горизонтом. В начальный момент времени фондовооруженность задана:.

Условие равенства спроса и предложения

Учитывая соотношения (9.34) — (9.36), перепишем критерий (9.33) в виде

        (9.38)
Для решения этой задачи можно воспользоваться принципом максимума Понтрягина или численным вариационным методом с использованием ЭВМ.

Решение задачи выполнения условия

Обозначим подынтегральное выражение (9.38) через и назовем его скоростью приведенного потребления (на душу населения) в момент . При этом будем рассматривать как управляющий параметр, выбор которого на временном отрезке [O, T] определяет все остальные переменные модели с учетом начального условия . С учетом изменения фондовооруженности на каждом временном интервале , равном суммарный эффект выбора на будет равен

        (9.39)
где

Поделив это выражение на , получаем

        (9.40)
Целевую функцию можно интерпретировать как скорость роста приведенного национального дохода на душу населения. Максимизация этой функции по для каждого момента времени будет максимизировать и интегральную целевую функцию(9.38)

        (9.41)
Условия экстремума по этой функции приводит к уравнению

        (9.42)
Предполагают, что уравнение можно разрешить относительно и получить соотношение вида

        (9.43)
при этом полученное решение действительно максимизирует функцию . Тогда на оптимальной траектории

        (9.44)
Далее вычисляют и , заключая в скобки равные нулю выражения:

         (9.45)
т.е.

        (9.46)
Эти соотношения являются системой уравнений Гамильтона (или канонических уравнений), а функция называется функцией Гамильтона или гамильтонианом. В классической механике переменные и называются обобщенной координатой и импульсом, а — обобщенной скоростью.

Можно также записать уравнение типа (9.42) для функции

        (9.47)
Функция имеет вид

        (9.48)
 

Вклад скорости роста фондовооруженности в скорость роста национального дохода

Обратившись к экономической интерпретации соотношений (9.40) — (9.48), следует еще раз подчеркнуть, что функция представляет собой скорость роста приведенного национального дохода на душу населения (см. рис. 9.1), ее необходимо максимизировать. А безразмерный коэффициент позволяет учитывать вклад скорости роста фондовооруженности в скорость роста приведенного национального дохода. Остальной вклад дает скорость приведенного потребления .

Случаи, когда фондовооруженность следует поддерживать постоянной

Из канонического уравнения (9.45) следует, что =0, т.е. фондовооруженность (на магистрали, т.е. основном участке планируемой траектории) следует сохранять постоянной. Соответствующее значение можно получить, на основе уравнения (9.46), где

        (9.49)
что дает условие

        (9.50)
Интересно подчеркнуть [78], что это соотношение формально можно получить из необходимого условия стационарности траектории — уравнения Эйлера — Лагранжа для функции :

        (9.51)
Эта задача ассоциируется с задачей вариационного исчисления с функционалом (9.38).

Обобщение на глобальные экономические системы

Таким образом, в заключение этого раздела мы рассмотрели проблему экономической динамики в упрощенной классической постановке. Однако, несмотря на то, что здесь была рассмотрена простая однопродуктовая модель, полученные при этом основные выводы не теряют обобщенности при их распространении на более глобальные экономические системы (см. рис. 9.1). Как видно из приведенного здесь примера и рассмотренной выше модели, основным фактором экономической динамики является скорость роста фондовооруженности, обуславливающая возможность выпуска науко- и техноемкой продукции.

Примеры отрицательного плана

Можно привести примеры и отрицательного плана. К сожалению, прежде всего это касается нашей российской металлургии, где практически нулевые (иногда даже отрицательные) скорости обновления фондов (не считая поддерживающих ремонтов) привели к ее существенному отставанию от зарубежной, особенно в смысле производительности труда, качества и потребительских свойств продукции, а также приведенных энергозатрат. Чтобы обусловить здесь положительную динамику, необходимо кроме рассмотренных выше факторов, связанных с быстрым обновлением фондов, обеспечить также стабильные правила игры (экономические законы и условия) на весь какой-то достаточно длительный (например, 5 — 7 лет) планируемый период.

Аналогия динамики биологических популяций с «социально-экономическими» популяциями

Закончив, таким образом, рассмотрение термодинамических аналогий применительно к экономике, что оказалось также достаточно полезным для более глубокого понимания некоторых других вопросов, забегая несколько вперед, интересно отметить существование еще одной важной аналогии.

В следующем разделе наряду с другими вопросами рассматриваются также уравнения динамики биологических популяций. Здесь просматривается очень четкая аналогия динамики этих популяций с популяциями «социально-экономическими», в которых ведущая роль принадлежит человеческому фактору (научные идеи, постоянно возрастающие потребности людей и т.д.).

Показано (см. рис. 9.8), что выживают популяции, требующие для своего существования и развития все большего количества (и более качественных) ресурсов. Но в условиях ограниченных ресурсов это может приводить к катастрофическим последствиям.

Проблемы, возникающие из-за различия в уровнях развития стран

Снова обращая внимание читателя к рис. 9.1 и подчеркнув большие различия в уровнях развития двух основных групп стран, добавим, что США, например, составляя 5% населения земли, потребляет около 40% энергоресурсов (и, естественно, дает соответствующее количество выбросов). И в то же время президент этой страны отказывается подписать Киотское соглашение об ограничении выбросов, поскольку это чревато для США потерей 1 — 2% ВВП. Хотя такую цену, безусловно, следовало бы заплатить, особенно если учесть, что количество природных катастроф (ураганов, торнадо, наводнений и т.п.) в последние годы резко возрастает, а ущерб от них оценивается порядка 200 — 300 млрд. долларов США в год. Подробнее эти проблемы будут рассмотрены в следующем разделе.

Возможно, вам будет интересно также:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *