Детерминизм и динамический диссипативный хаос

Детерминистическая связь между причиной и следствием

Вернемся снова к определению случайности, под которым мы условились понимать воздействие большого числа причин, внешних по отношению к данному объекту, то есть величин, которые могут принимать любые заранее неизвестные значения. Целью этого заключительного раздела первой главы является наша попытка систематизировать и вместе с нашими читателями еще раз переосмыслить имеющиеся представления о механизмах взаимопереходов от хаоса к упорядоченности, взаимосвязи причинности и случайности, внутренней природы детерминированности и стохастичности (индетерминированности). При этом в качестве основы мы будем опираться на две глубоко содержательные книги философской направленности, принадлежащие И. Пригожину и И. Стенгерс, вторая из которых под названием “Время, хаос, квант” вышла недавно в обновленном виде уже в пятом издании. Здесь авторы пытаются рассмотреть упомянутые выше проблемы с позиций современных фундаментальных научных представлений, отталкиваясь от классической динамики и восходя к проблемам статистической и даже квантовой механики.

Вернемся теперь к понятию причины, с которым мы встречались в гл. 1 §3 и которое имеет следующий смысл: “Одна и та же причина при сходных обстоятельствах (условиях) порождает одно и тоже следствие”. Или: “Если одним и тем же способом приготовить две подобные системы, то поведение их будет одним и тем же”. Однако, это действительно для достаточно “грубых” систем, слабо чувствительных к изменениям внешних условий. В то же время существуют системы (а иногда даже режимы существования одних и тех же систем) чувствительные к начальным условиям и малым изменением параметров. Для таких систем невозможно определить класс сходных ситуаций, в которых сходные причины (сходные начальные условия) влекут за собой сходные следствия – сходную эволюцию. Такие системы движутся по траекториям, которые со временем расходятся. В этом случае общую детерминистическую связь между причиной и следствием необходимо дополнить новыми свойствами, соответствующими качественному различию между устойчивыми и хаотическими системами.

Хаотический режим

Таким образом, приходят к определению хаотического режима, типичного для систем со странным аттрактором. Режим называется хаотическим, если расстояние между любыми двумя точками, первоначально сколь угодно малое, экспоненциально возрастает со временем.

Время Ляпунова

Разбегание траекторий описывается соотношением

где

 – по определению, величина, называемая показателем Ляпунова (положительная величина для хаотических система),

 – время Ляпунова.

Время Ляпунова позволяет ввести внутренний масштаб времени для хаотических система, т.е. интервал времени, в течение которого выражение две одинаковые системы, соответствующие одним и тем же начальным условиям, сохраняет смысл, т.е. допускает в какой-то мере предсказание. Хаотические системы в этом смысле характеризуются временным горизонтом, который мы можем расширить, но не можем игнорировать. Поскольку, чтобы увеличить интервал времени, в течение которого мы можем предсказывать траекторию, необходимо увеличить точность задания начального состояния, как бы сузить класс систем называемых одними и теми же. Но цена, которую приходится платить за это, возрастает экспоненциально, т.е. для увеличения в 10 раз продолжительности интервала времени, в течение которого эволюция системы остается предсказуемой, пришлось бы увеличить точность задания начальных условий в  раз.

Определение хаоса

Существование временного горизонта хаотической системы порождает принципиальное отличие между тем, что можно назвать “теперь” – системой, индивидуальное поведение которой мы можем предсказать, используя наше современное и прошлое знание, и “потом” – эволюцией, которая более не допускает описание индивидуального поведения. Таким образом, приходят к определению хаоса как перехода через границу, мешающую предсказанию индивидуального поведения при любом уровне нашего знания или, по крайней мере, при данном уровне знания, если уровень развития техники еще позволяет повысить точность измерений.

Классическая динамика, интегрируемость и хаос

Интегрируемые и неинтегрируемые системы

Так называется одна из глав книги, которую мы продолжаем реферировать, с удовольствием взяв на себя труд, попытаться донести до нашего читателя в более компактной и, надеемся, популярной форме развиваемый в этой книге интересный и содержательный подход к проблеме постижения и описания взаимосвязи детерминизма и хаоса. Граница между этими понятиями рассматривается здесь через призму интегрируемых и неинтегрируемых систем (уравнений). Считается, что для интегрируемых сложных систем можно исключить взаимодействие и свести задачу к задаче о свободном движении, при этом не составляет труда получить выражение для траектории координат и скоростей в виде явных функций времени. Но для неинтегрируемых систем, которые далее и будут ассоциироваться с понятием хаотических, мы вынуждены отказаться от описания в терминах траекторий и перейти к вероятностному описанию. С аналогичной проблемой встречаются и в квантовой теории. В известной модели атома Бора с самого начала предполагается, что мы имеем дело с законами и событиями, допускающими вероятностное описание.

Позиция квантовой теории

С одной стороны, существуют квантовые орбиты, получаемые обобщением классических законов движения, а с другой стороны – квантовые скачки, представляющие собой события. В современной же стандартной квантовой теории событий не существует. Основное уравнение квантовой теории – уравнение Шрёдингера – детерминистическое и обратимое (хотя в нем и используется амплитуда вероятностей). События здесь ассоциируются с производимыми нами измерениями. Причину стохастичности и необратимости квантовая теория усматривает в наших наблюдениях, что является основанием для известных споров и противоречий. К настоящему времени такой подход, представляющий собой квантовый эквивалент классической проблемы интегрируемости, позволил достичь успеха лишь отчасти. Предполагаемый авторами книги подход позволяет включить в описание необратимость, а вместо рассмотрения индивидуальных траекторий (или волновых функций в квантовой механике) предлагается вероятностное описание, применимое к ансамблю траекторий (или волновых функций). При этом для включения в описание таких свойств, как степень приближения к равновесию, необходимы дополнительные условия на функции распределения наблюдаемые переменные, что приводит к принципиально вероятностным описаниям, не сводимым к описанию в терминах отдельных траекторий (или волновых функций).

Основные моменты механики Ньютона

Остановимся несколько подробнее на отмеченных выше проблемах, напомнив в качестве отправной точки основные моменты механики Ньютона и Гамильтона. Основная задача ньютоновской механики состоит в расчете движения взаимодействующих сил на основе знаменитого уравнения Ньютона 

Оно связывает ускорение (т.е. вариацию движения) с силой. Траектория определяется такими величинами, как координаты тела , скорость и ускорение .

Причем время входит в уравнение Ньютона только через вторую производную, а следовательно, это уравнение инвариантно при замене на . Закон Ньютона является классическим прототипом “закона природы”: он обратим во времени и детерминичен. Интегрируя это уравнение можно найти положение и скорость тела в любой момент времени  до и после , зная лишь начальное положение  и начальную скорость . Ньютоновский подход определяет мир как совокупность траекторий, исключая всякое различие между прошлым и будущим. В общем случае состояние динамической системы задается координатами , являющимися независимыми переменными и соответствующими им скоростями , являющимися зависимыми переменными, поскольку определяются как производные от координат по времени.

Основные моменты механики Гамильтона

Современная физика использует вместо ньютоновского описание гамильтоновское. В гамильтоновском описании и координаты, и скорости, точнее, импульсы (в простых случаях это ) определяются как независимые переменные. Преимущества такого подхода в существенном упрощении уравнений движения. Центральная величина всей гамильтоновской динамики – функция Гамильтона, или, гамильтониан .

Для консервативных систем, в которых  не зависит явно от времени, во многих случаях (например, при гравитационном взаимодействии между частицами) гамильтониан имеет вид

где

 – кинетическая энергия,

 – потенциальная энергия.

Таким образом, гамильтониан выражает энергию системы в канонических переменных  и .

В гамильтоновском описании число независимых переменных удваивается, но уравнение движения существенно упрощается. Например, для системы  точек, каждой 3  координат точек соответствует каноническое уравнение движения

Аналогично, каждому  импульсов соответствует каноническое уравнение вида

Для частного случая свободных, т.е. не взаимодействующих частиц, гамильтониан зависит только от импульсов, так как потенциальная энергия отсутствует. Из канонических уравнений следует, что импульсы постоянны во времени , а координаты, задающие положения частиц – линейные функции времени. Этот тривиальный случай дальше играет важную роль в общей проблеме интегрирования гамильтоновых уравнений движения.

В канонических уравнениях законы движения записываются через одну единственную величину – гамильтониан , а фазовое пространство для динамической системы, состоящей из  частиц, 6  – мерно ( 3 координат и 3 импульсов). Каждое состояние динамической системы может быть представлено точкой в фазовом пространстве. Положение начальной точки вместе с гамильтонианом полностью определяет траектории. Две траектории в фазовом пространстве, исходящие из различных начальных точек, навсегда останутся различными, они никогда не пересекутся и сольются в одну общую траекторию.

Чтобы ввести понятие интегрируемой величины, рассматривается пример одномерного гармонического осциллятора (грузика, колеблющегося на конце пружины), гамильтонианин которого имеет вид:

где

 – масса;

 – упругая постоянная пружины;

 – кинетическая энергия;

 – потенциальная энергия, имеющая минимум при  (положение равновесия пружины).

Постоянная  связана с частотой  осциллятора соотношением 

Для упрощения гамильтоновых уравнений вводятся новые переменные  и  вместо  и  (рис.1.12).

Рис. 1.12 Переменные угол – действие, как функции декартовых координат

Новые переменные удовлетворяют каноническим уравнениям движения и связаны с  и  соотношениями  и 

где 

Переход от старых переменных к новым аналогичен преобразованию декартовых координат в полярные:  – называется угловой переменной,  – переменная действия.

В переменных угол – действие гамильтониан принимает простой вид

Он зависит только от нового импульса – переменной действия. В результате, как и в случае свободных частиц

т.е. переменная действия  является инвариантом движения. Что же касается угловой переменной , то 

Следовательно, эволюция угловой переменной во времени описывается линейной функцией времени.

Каноническое преобразование

Переход от  и  к переменным  и  называется каноническим преобразованием. В данном случае такое преобразование позволяет исключить из гамильтониана взаимодействие (потенциальную энергию). Возможность исключить потенциальную энергию с помощью подобного преобразования и есть основная характерная особенность интегрируемых динамических система в смысле Пуанкаре.

Термин “циклические переменные” для набора переменных, исключающих взаимодействие в гамильтониане, относятся к периодическому характеру движения, который делается явным в таких переменных.

Как было показано выше, на примере гармонического осциллятора, координаты  представлены в виде угловых переменных . Если интегрируемая система имеет одну степень свободы, то ее эволюцию можно представить, как движение по окружности. В случае двух степеней свободы мы имеем движение на торе (рис.1.13).

Рис. 1.13 Эволюция интегрируемой системы с двумя степенями свободы

Важнейшую роль здесь играют частоты системы . Все они являются производными по времени угловых переменных  и определяются каноническими уравнениями вида

Понятие резонанса

Именно через эти частоты мы и приходим к понятию резонанса, имеющего решающее значение для теоремы Пуанкаре. Напомним, что под резонансом понимается передача энергии между двумя связанными периодическими движениями с равными (или кратными) частотами, при этом, как правило, происходит увеличение амплитуды одного из периодических процессов.

Далее рассматривается интегрируемая система с двумя степенями свободы, движение которой представимо на торе. Здесь две ситуации. Если

где  и  – целые числа, не равные нулю одновременно, то имеет место резонанс.

Это означает, что

т.е. отношение частот равно рациональному числу. Если есть резонанс, то движение на торе периодическое, а если сумма  отлична от нуля при произвольных целых числах, то изображающая точка никогда не возвращается в начальное положение. В этом случае мы имеем квазипериодическое движение: геликоидальную траекторию, которая, никогда не замыкаясь, навивается на поверхность тора. Для системы с двумя степенями свободы квазипериодическое движение возникает, например, если  и  – иррациональное число (например ). Квазипериодическое движение выглядит достаточно сложным, поскольку представляющая траектория нигде не замыкается и не пересекается сама с собой, постепенно заполняя весь тор. В конце концов, такая траектория проходит через любую, сколь угодно малую поверхность тора и называется “всюду плотной”.

Теорема Пуанкаре

Кратко наполнив существенные особенности резонанса, мы вплотную подошли к рассмотрению теоремы Пуанкаре, основная логика которой очень доходчиво изложена в уже неоднократно цитируемой книге И. Пригожина и И. Стенгерс. Ниже мы выделим из этого изложения лишь главные моменты и конечный, очень интересный и важный вывод, вытекающий из этой теоремы.

До Пуанкаре предполагалось, что все динамические системы интегрируемые. Но в 1889 г. Пуанкаре показал, что в общем случае невозможно получить каноническое преобразование (сохраняющее вид гамильтоновых уравнений), которое приводило бы к циклическим переменным (их мы представили выше). Система двух тел, например, Земля-Солнце, интегрируема. Если же добавится третье тело, например Венера, то система становится неинтегрируемой. Оказалось, что подавляющее большинство динамических систем– неинтегрируемые.

Вопрос, который задал Пуанкаре, заключался в следующем: можно ли определить новые переменные действия  вида

где  и  – функции от  до 

так, чтобы при  новые переменные действия  гладко переходили в . Требовалось найти переменные действия аналитические по константе связи , т.е. функции от  до , представимые в виде степенных рядов по . Аналитические замены переменных гарантируют малые отличия  от  при малых . Если такая замена возможна, то, следовательно, можно исключить потенциальную энергию  возмущенной системы и ввести новый гамильтониан, зависящий только от . Но Пуанкаре показал, что такая замена возможна далеко не всегда. И этот результат оказался фундаментальным.

Если бы Пуанкаре удалось доказать интегрируемость всех динамических систем, это означало бы, что все динамические движения, по существу, изоморфны движению свободных (не взаимодействующих) частиц. Но это значит, что для когерентности и самоорганизации просто не было бы места. Как метко выразились авторы реферируемой работы, в интегрируемом мире не нашлось бы места для жизни.

Однако, Пуанкаре не только доказал неинтегрируемость, но и указал причину неинтегрируемости, а именно: существование резонансов между степенями свободы. Резонансы “отвечают” за невозможность исключить взаимодействие. Пуанкаре показал, что теория возмущений неизбежно приводит к появлению членов с “опасными” знаменателями

Если существуют резонансы, т.е. такие точки в фазовом пространстве, в которых

то члены ряда теории возмущений расходятся из-за необходимости деления конечных величин на нуль. Таким членам можно приписать только одно значение – бесконечность. Но когда в физике возникают бесконечности, или расходимости, это значит, что-то в ней “не так”, по-видимому, мы можем ожидать качественно нового поведения системы в этой области фазового пространства.

Любознательный читатель, который набрался терпения и вместе с нами проследил за логикой рассуждений, приведших к отмеченным выше фундаментальным результатам, может вместе с нами с удовлетворением отметить, что мы преодолели еще одну ступеньку в познании механизмов самоорганизации. В данном случае через, казалось бы, чисто математическую проблему неинтегрируемости малых знаменателей и резонанса, мы приближаемся к пониманию механизма превращения системы Пуанкаре (БСП), состоящих из большого числа осцилляторов, мы придем к возможности устранения расходимости Пуанкаре и предсказуемого когерентного поведения сложной системы, но уже в вероятностном смысле.

Теория КАМ (Колмогорова – Арнольда – Мозера)

А пока остановимся коротко на так называемой теории КАМ (Колмогорова – Арнольда – Мозера), в которой проблема Пуанкаре получила дальнейшее очень интересное и плодотворное развитие.

В этой теории рассматривается влияние резонансов на траектории для более сложного случая, когда частоты зависят от переменных действий , что в реальности чаще всего и имеет место. Тогда частоты в различных точках фазового пространства различны, а резонанс в каких-то точках существует, а в каких-то нет. Естественно, что резонансных точек очень немного, так как они должны соответствовать рациональным соотношениям между частотами.

Однако, при введении возмущений, характер движения в резонансных точках (или на рассмотренных выше резонансных торах) резко изменяется (по теореме Пуанкаре), в то время как периодическое движение изменится незначительно. Мы получаем два различных вида траекторий: слегка изменившиеся квазипериодические траектории и стохастические траектории, возникшие при разрушении резонансных торов.

Из теории КАМ следует, что увеличение параметра связи  приводит к расширению области, в которой преобладает стохастичность и при некотором критическом значении  возникает хаос: в этом случае мы имеем положительный показатель Ляпунова, соответствующий экспоненциальному разбеганию со временем любых двух близких траекторий. При малых значениях  имеет место промежуточный режим, в котором сосуществуют траектории двух типов – регулярные и стохастические.

Большие системы Пуанкаре

Остановимся теперь на больших системах Пуанкаре. Как было подчеркнуто выше, в классических системах Пуанкаре резонансы встречаются редко, так как возникают в случаях рациональных соотношений между частотами. Но при переходе к БСП ситуация коренным образом изменяется, так как здесь резонансы играют главную роль. Что же представляют собой большие системы Пуанкаре? В качестве примера рассмотрим взаимодействие между отдельной частицей и полем, которое можно рассматривать как суперпозицию осциллятора с континуумом частот  (кстати, это распространенная модель реальных сложных систем). В отличие от поля каждая частица совершает колебания с одной фиксированной частотой  и, следовательно, мы имеем неинтегрируемую систему Пуанкаре. Резонансы будут возникать всякий раз, когда . Например, испускание излучения представляет собой необратимый процесс, связанный с резонансами Пуанкаре.

Основная особенность таких систем состоит в том, что частота  есть непрерывная функция индекса , соответствующая длинам волн осцилляторов поля. Таким образом, особенностью больших систем Пуанкаре становится их хаотичность. У них нет регулярных траекторий, сосуществующих со стохастическими траекториями. Но именно благодаря этому БСП позволяет исключить расходимости Пуанкаре, т.е. устранить основное препятствие на пути к интегрированию уравнений движения. Причем это достигается благодаря тому, что уравнения для БСП в общем случае приводят к принципиально вероятностной эволюции с нарушением симметрии во времени. Таким образом, мы снова, теперь уже через БСП, приходим к возможности предсказуемого когерентного поведения.

Здесь же мы хотим еще раз подчеркнуть, что предложенная Пуанкаре классификация динамических систем на интегрируемые и неинтегрируемые и доказанная им теорема о существовании неинтегрируемых систем явилась весьма удачной базой для понимания механизмов взаимосвязи между детерминизмом и хаосом.

Возможно, вам будет интересно также: