Идентификация объектов с внутренними перекрестными связями

Идентификация металлургических объектов

Рассмотренные выше методы идентификации относятся к случаям, когда подстройка коэффициентов осуществляется для одного канала (по одному из выходов) либо для ряда независимых (не влияющих друг на друга) каналов. При математическом описании металлургических объектов нередко встречаются более сложные случаи, когда выход одного канала выступает в качестве входа для другого и наоборот (рис. 5.20).

Рис. 5.20 Схема объекта с внутренними взаимосвязями

Естественно, число таких каналов (подсистема) может быть и более двух. К числу наиболее характерных примеров такого рода относятся сталеплавильные процессы. Повышение скорости обезуглероживания в мартеновской, электросталеплавильной и конвертерной ванне оказывает одновременно (через работу перемешивания) воздействие на скорость нагрева металла, приращение же температуры металла влияет на окисленность шлака и металла, а также на скорость обезуглероживания. Окисленность шлака, являющуюся промежуточным выходом, одновременно следует отнести к числу определяющих факторов для обезуглероживания и нагрева металла.

Наиболее фундаментальным решением такого рода задач, естественно, является вскрытие физических механизмов и аналитическое описание этих взаимосвязей. Но, к сожалению, это далеко не всегда возможно, особенно при недостаточной изученности процесса. Чаще всего имеет место ситуация, когда на основе теоретических представлений ставятся определенные гипотезы о структуре взаимосвязей, а количественные значения параметров оцениваются экспериментально – статистическими методами.

Объекты с внутренними перекрестными связями

Математическое описание объектов с внутренними перекрестными связями

Упомянутые выше объекты могут, например, описываться с помощью системы, так называемых структурных уравнений, которая в общем виде для зависимых и независимых переменных представляется следующим образом:

.        (5.100)Коэффициенты регрессии такой модели называются «структурными коэффициентами», число которых равно.

Проблема неполной идентификации

Здесь нередко сталкиваются с проблемой неполной идентификации, когда некоторые из уравнений системы (246) оказываются структурно неразличимыми или могут быть получены как линейные функции от других, т. е. в результате число уравнений оказывается меньше числа оцениваемых параметров.

Косвенный метод наименьших квадратов

Составление системы линейных функций

Разработано несколько методов оценивания структурных коэффициентов, простейшим из которых является косвенный метод наименьших квадратов или метод приведенной формы. Смысл его заключается в следующем. Система (5.100) может быть записана для переменных как система линейных функций только независимых переменных , т. е. будет иметь следующий вид:

.        (5.101)где ошибки являются линейной функцией ошибок , а коэффициенты и ошибки являются функциями, в общем нелинейными, коэффициентов и . Эта система называется приведенной или сокращенной формой. Регрессии на все могут быть получены путем оценок коэффициентов приведенной формы методом наименьших квадратов. Естественно, что оценки структурных коэффициентов не могут быть получены на основе коэффициентов приведенной формы. Избежать этого затруднения можно, приняв априорные допущения в отношении некоторых коэффициентов структурных уравнений, например, приравняв нулю коэффициенты при тех переменных, влияние которых с достаточным основанием можно считать незначимым, или наложив определенные ограничения на ряд коэффициентов на основе физических и других соображений. Число таких ограничений для выполнения необходимого условия идентификации равно . При меньшем их числе мы имеем дело со случаем неполной идентификации, а при большем – со сверхидентифицированными уравнениями.

Рассмотрение метод наименьших квадратов на примере

Конкретную реализацию представленного выше метода рассмотрим на следующем достаточно простом примере. Имеется объект с двумя входами и выходами, описываемый уравнениями вида

.        (5.102)Образуем в соответствии с (5.101) система уравнений приведенной формы и методом наименьших квадратов найдем оценки ее коэффициентов, в результате чего получаем:

.         (5.103)Теперь необходимо определить оценки коэффициентов исходных структурных уравнений через коэффициенты приведенной формы, число которых на два меньше. Следовательно, необходимо ввести два ограничения на параметры структурных уравнений. Допустим, из каких-либо соображений известно, что из-за отсутствия влияния переменной на и на коэффициенты и могут быть приняты равными нулю. Образуем теперь линейную комбинацию из уравнений приведенной формы (5.103), умножив первое из них на 1, второе на и сложив их. Перенеся переменную в правую часть уравнения и приведя подобные члены, получаем:

.Из сравнения этого уравнения с первым уравнением системы (5.102) видно, что по структуре они идентичны и, следовательно, коэффициенты при соответствующих переменных могут быть приравнены. Учитывая принятое выше ограничение , имеем , откуда получаем . Подставляя значение в полученное выше уравнение, имеем

.Аналогичным образом можно получить оценки структурных коэффициентов для второго уравнения системы (5.102), образовав линейную комбинацию из уравнений (5.103) путем умножения первого из них на , а второго на 1. В результате, опуская аналогичные преобразования, получаем

Учитывая, что , имеем

, ;.Таким образом, модель объекта, представленного системой уравнений (5.102), имеет следующий вид:

.        (5.104)где ,  .

Так практически реализуется косвенный метод наименьших квадратов. Попытки же применить обычный метод наименьших квадратовнепосредственно к каждому уравнению системы (5.100) или (5.102) могут привести к оценкам коэффициентов, значительно отличающимся от действительных.

Двухшаговый метод наименьших квадратов

Рассмотренный метод является наиболее простым, но в каждом случае требует содержательного анализа, особенно с точки зрения введения ограничений. Для реализации же в виде регулярной процедуры, в том числе на ЭВМ, более приемлемым является другой метод, носящий название двухшагового метода наименьших квадратов и являющийся логическим развитием рассмотренного выше метода. Основная его идея заключается в следующем: с использованием метода приведенной формы по уравнениям типа (5.101) находятся оценки коэффициентов, а затем и теоретические значения выходных переменных, которые подставляются в структурные уравнения и для нахождения оценок коэффициентов этой системы переменных применяется обычный метод наименьших квадратов. Такая процедура позволяет уменьшить влияние помех на выходы. Аналогичный подход может использоваться и для сверх идентифицированных уравнений, т. е. в случаях, когда число ограничений напараметры больше, чем необходимо для выполнения условия идентифицируемости. Известен также трехшаговыйметод наименьших квадратов. Два последних метода имеются в составе прикладного математического обеспечения системы MATLAB.

Объекты с внутренними перекрестными связями

Математическое описание объектов с внутренними перекрестными связями

Рис. 5.21 Объект в системе автоматического регулирования с обратной связью

Рассмотрим этот вопрос сначала под углом зрения описанного выше подхода, а затем – с позиций теории автоматического управления. Схема замкнутой системы автоматического регулирования (рис. 5.21) является по существу частным случаем структуры, представленной на рис. 5.20, и описывается системой, аналогичной системе (5.100):

,.Эта задача решается сравнительно просто лишь для случая, когда управление осуществляется автоматическим регулятором, закон функционирования которого (в простейшем случае коэффициент передачи регулятора ) известен, а коэффициенты передачи по управляющему каналу и возмущающему равны. Кроме того, делается предположение, что объект обладает свойствами линейностиаддитивности(возможности сложения эффектов отдельных воздействий, в том числе по отдельным каналам), а помеха не коррелирована с внешним для системы входным возмущением . Тогда, подставляя значение из второго уравнения в первое и принимая для простоты задание , имеем.

После преобразования получаем

т. е. задача может быть решена, например, обычным методом наименьших квадратов.

Решение задачи с позиции автоматического регулирования

Рассмотрим вопрос идентификации в замкнутом контуре с позиций теории автоматического регулирования. Передаточная функция одноконтурной системы автоматического регулирования имеет вид:

.Если передаточная функция регулятора известна, то на основе наблюдений в определенных условиях за входом и выходом системы или в результате специально сформированных пробных воздействий может быть получена передаточная функция замкнутой системы , а затем и передаточная функция объекта

.Условиями успешного решения этой задачи являются некоррелированность помехи с входным воздействием и достаточно широкий частотный спектр последнего, по крайней мере не меньший, чем полоса частот, в которой требуется оценить динамическую характеристику системы. Эти условия часто трудновыполнимы при пассивных методах исследования. Подача же специально сформулированных входных воздействий позволяет выполнить их и значительно повысить эффективность идентификации.

Таким образом, задача идентификации объекта управления в случае замкнутой системы с автоматическим регулятором в принципе поддается решению без размыкания системы.

Решение для системы обслуживаемой персоналом

Проблема значительно усложняется, если имеем дело с системой, замыкающейся через человека – оператора. Свойства идентифицируемой системы при этом зависят как от характеристик объекта, так и от поведения обслуживающего персонала, которое практически не поддается формализации, т. е. невозможно получить передаточную функцию управляющего звена, а следовательно, и выделить передаточную функцию объекта из передаточной функции системы. Одним из возможных выходов из этой ситуации является жесткая регламентация управляющих действий персонала на время эксперимента по идентификации и регистрация фактически принятых управляющих воздействий на каждом шаге управления. В ряде случаев таким образом удается выделить эффекты управлений из поведения системы в целом и получить передаточную функцию объекта.

Однако чаще всего реализация детерминированных управляющих алгоритмов обслуживающим персоналом наталкивается на серьезные трудности: человек склонен к субъективным оценкам, плохо приспособлен к воспроизведению однозначных действий, может получать информацию о результатах управления и возмущениях не только по показаниям измерительных приборов, но и по визуально наблюдаемым признакам, способен приспосабливаться к обстановке. В связи с этим наиболее радикальным подходом является отстранение (если это возможно) на время эксперимента обслуживающего персонала от вмешательства в режим работы объекта, до тех пор, пока отклонения управляемых параметров находятся в допустимых технологических или эксплуатационных пределах. Размыкание таким образом контура управления сочетается, как правило, с подачей на объект специально организованных пробных сигналов, что позволяет более эффективно использовать время, выделенное для вмешательства в нормальный процесс функционирования объекта. Таким образом, при идентификации управляемых человеком многомерных объектов (см. рис. 5.20) с перекрестными связями между каналами (в том числе нелинейными) более целесообразно использование активных методов.

Возможно, вам будет интересно также: