Методы параметрической идентификации

Отбор методов по целевой направленности

Как уже указывалось выше, число работ и разнообразие методов идентификации делает практически невозможной достаточно полную их характеристику. Одним из рациональных подходов в этих условиях является отбор методов параметрической идентификации по их целевой направленности, т. е. зависимости от свойств объектов, отражением которых являются модели определенных классов. Растригиным Л.А. предложена, например, следующая классификация моделей под этим углом зрения:

1. статические или динамические;
2. детерминированные или стохастические;
3. линейные или нелинейные;
4. непрерывные или дискретные.

Признаки классификации методов

При определении вида оператора связи между входом и выходом объекта в зависимости от его свойств выбирается либо один из приведенных выше типов моделей, либо некоторая их комбинация, что, в свою очередь, используется при выборе наиболее приемлемых методов параметрической идентификации, в основу классификации которых положены следующие признаки:

1. активность (пассивные и активные методы);
2. адаптивность (неадаптивные и адаптивные);
3. дискретность (непрерывные и дискретные, т. е. шаговые).

Как видно из приведенных классификации, число возможных сочетаний моделей и методов довольно велико, но и оно не исчерпывает всего многообразия реальных ситуаций, хотя, безусловно, вносит определенную целенаправленность в процесс выбора методов. Например, идентификация объекта, описываемого статической, детерминированной, линейной моделью осуществляется более простыми методами, чем для случая динамической стохастической нелинейной модели. Из-за невозможности рассмотреть все промежуточные случаи ниже мы остановимся лишь на некоторых из них, наиболее характерных применительно к металлургическим объектам.

Параметрическая идентификация для случая статической детерминированной модели

Математическое описание модели

Допустим, что поведение объекта описывается регулярной зависимостью, связывающей вход и выход объекта:.

Тогда модель объекта также должна представлять собой некоторую регулярную функцию.

Рассмотрим сначала случай линейной модели объекта с входами и выходами, которая имеет единственно возможную структуру и описывается системой линейных алгебраических уравнений:

где идентифицируются коэффициентов

В векторной форме эта система имеет вид:

        (5.68)где

Рассмотрим случай , , т. е. модель объекта с одним выходом, которая в векторной форме имеет вид:

,

где– скалярное произведение векторов и:

.В скалярной форме модель имеет вид:

.Она содержит неизвестных параметров , которые могут быть оценены на основе информации о работе объекта.

Рассмотрим сначала неадаптивный шаговый метод применительно к решению этой задачи, для чего приравниваются выходы модели и объекта в каждом изопытов (отсчетов):

        (5.69)В результате может быть получена система уравнений идентификации с неизвестным, которая имеет однозначное решение, если ранг матрицы

равен , т. е. имеется линейно независимая строка этой матрицы. Это условие может быть нарушено, если ряд факторов в некоторых опытах окажутся застабилизированными, например, по условиям технологии. Выходом из этой ситуации является увеличение числа опытов в надежде получить недостающие комбинации или активное вмешательство в работу объекта, в противном случае приходится снижать число идентифицируемых параметров.

Критерий идентификации

В качестве критерия идентификации чаще всего используется суммарная невязка (остаток) модели и объекта

.        (5.70)где – локальная невязка на – том опыте;

Сравним рассмотренный метод с адаптивным шаговым, при котором связываются значения параметров модели на двух следующих друг за другом шагах:

.        (5.71)где– алгоритм адаптации,

.В качестве такого алгоритма часто используют метод наискорейшего спуска:

.       (5.72)где– невязка на – том шаге при значении параметра модели на – ом шаге адаптации;

.Параметр выбирается из условия минимума текущей невязки .

Некоторым преимуществом рассмотренного метода по сравнению с предыдущим является возможность использования текущей информации, но при этом возникают проблемы сходимости процесса адаптации, связанные с выбором параметра .

Скорость сходимости может быть значительно повышена при использовании активных методов, например, путем выбора и реализации на объекте такой последовательности состояний входов, при которой значения идентифицируемых параметров могут быть найдены за минимальное число шагов. Наилучшим образом это достигается при условии взаимной ортогональности векторов входных параметров.

Для непрерывного случая процесс адаптивной идентификации представляется дифференциальным уравнением вида:

.        (5.73)Если в качестве критерия идентификации, как и в предыдущем случае, принять квадрат невязки, а в качестве алгоритма – метод наискорейшего спуска, то это уравнение конкретизируется следующим образом:

.        (5.74)где

• ,
• ,
• .

Обозначив вектор-функцию времени

получаем

Тогда уравнение адаптивной идентификации принимает следующий вид:

.        (5.75)Структурная схема, реализующая этот алгоритм, приведена на рис. 5.14.

Рис. 5.14 Структурная схема непрерывной адаптивной идентификации

Нелинейные модели

Функциональное представление обьекта

Определение вида функции , связывающей вход и выход объекта , является, как уже отмечалось выше, предметом структурной идентификации.

Существующие представления об объекте отражаются в виде определенной функции с неизвестными параметрами . Процедуры же конкретной реализации функции основываются на кусочно – линейном или функциональном представлении зависимости выхода модели от входа. Остановимся на функциональном представлении, как имеющем большую степень общности [35].

Неизвестная функция объектав виде известной функции с неизвестными параметрами .

Для определения неизвестных параметров приравнивают состояния модели и объекта для каждого из наблюдений

, где, – число оцениваемых параметров.

Аналитическое решение

Решение такой системы (в общем случае трансцендентных уравнений) сводится, как и в линейном случае, к задаче минимизации суммарной невязки

.        (5.76)Если структура модели выбрана в классе дифференцируемых функций, то эта задача представляется в виде системы уравнений с неизвестными:

.Такого рода аналитическое решение задачи часто представляет значительные вычислительные трудности, в связи с чем обращаются к поисковым методам минимизации. Для этого организовывается рекуррентный процесс , где– шаг, определяемый алгоритмом поиска.

При правильном выборе алгоритмаэтот процесс должен сходиться к точным значениям параметров, т. е. к решению задачи (5.76)

,a .

Особенности адаптивных методов идентификации применительно к нелинейным моделям

Рассмотрим особенности адаптивных методов идентификации применительно к нелинейным моделям.

Локальная невязка выходов модели и объекта имеет для непрерывного случая вид:

Минимизация ее квадрата градиентным методом приводит к следующему алгоритму:

.         (5.77)где.

Структурная схема, реализующая этот алгоритм, представлена на рис. 5.15, сравнение которого с рис. 5.14 показывает, что последний алгоритм отличается от случая линейной модели наличием функционального преобразователя , предназначенного для определения вектора

Рис. 5.15 Схема адаптивной идентификации нелинейных объектов

Адаптивно шаговый метод

Рассмотренный случай касался адаптивного алгоритма идентификации для непрерывных объектов. Остановимся теперь на особенностях адаптивного шагового метода, который целесообразно применять для дискретных объектов (при дискретном способе получения информации о состоянии объекта). Локальная невязка в этом случае имеет вид:

.         (5.78)а рекуррентный алгоритм представляется формулой

.        (5.79)где.

Параметр выбирается из соображений оптимизации работы алгоритма. Определим его для предельного случая, когда структура модели и объекта совпадают, т. е.

.        (5.80)Подставив в формулы (5.78) и (5.79) соотношение (5.80) и выражение для вектора невязки параметров , после некоторых преобразований получаем уравнение, отражающее изменение в процессе идентификации:

Тогда выражение для квадрата невязки имеет вид:

Из условия минимизации этого выражения (дифференцированием по и приравниванием нулю) и находится оптимальное [35] значение параметра :

.        (5.81)Тогда оптимальный алгоритм адаптивной шаговой идентификации принимает вид:

.        (5.82)Определяемдля этого случая. Подставив (5.82) в (5.78), получаем:,

т. е. при локальная невязка на каждом шаге идентификации уменьшается до нуля.

При активной идентификации векторы на каждом шаге выбираются таким образом, чтобы они были ортогональны друг другу, т. е.

В этом случае процесс идентификации должен заканчиваться за шагов, естественно, если речь идет о детерминированной модели, так как при наличии помех скорость сходимости процесса идентификации существенно зависит от их уровня, что будет показано ниже.

Параметрическая идентификация стохастических объектов

Случай статического стохастического объекта

Сначала рассмотрим случай статического стохастического объекта, который может быть представлен в виде:

.        (5.83)где – вектор случайных факторов, порожденных либо самим объектом, либо средствами сбора и передачи информации.

Рис. 5.16 Схема объекта с аддитивным наложением помех

Для простоты остановимся на таких объектах (рис. 5.16), у которых регулярная и случайная составляющие могут быть разделены, т. е. представлены в виде:

.        (5.84)где

• – регулярная составляющая объекта;
• – случайная составляющая.

При этом предполагается, что свойства случайной составляющей не зависят от входа , т. е. полностью оцениваются определенной плотностью вероятности , в качестве которой часто принимают нормальный закон.

Тогда для объекта с одним входом , когда , плотность нормального распределения характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием и дисперсией

В двухмерном случае нормальный закон распределения характеризуется пятью параметрами: двумя средними значениями

;двумя дисперсиями

    .и корреляционным моментом

.

Процедура декорреляции

Идентификация объектов с несколькими выходами значительно затрудняется при наличии корреляции помех, действующих на разные выходы. Преодолеть этот недостаток можно с помощью процедуры «декорреляции», смысл которой состоит в следующем.

Пусть и – коррелированные случайные величины с нулевыми средними, дисперсиями , и корреляционным моментом , который предполагается известным. Образуем путем линейного преобразования новые случайные величины:

;.

Определим коэффициент корреляции этих величин

.Для того чтобы эта корреляция была равна нулю, достаточно, например, выполнить условия:

.        (5.85)Таким образом, с помощью определенного линейного преобразования можно избавиться от корреляции помех на выходах, т. е. после указанной операции рассматривать задачу идентификации для каждого выхода отдельно.

При этом необходимо подчеркнуть, что оценки идентифицируемых параметров в среднем совпадает с их точными значениями при выполнении двух следующих условий:

.        (5.86)т. е. если среднее значение помехи равно нулю и помеха не коррелирована ни с одним из входов .

В реальных же условиях такая корреляция часто имеет место. В этом случае необходимо получить значение корреляций , для чего нужно привлечь всю дополнительную информацию о свойствах помехи и ее взаимодействии со входами. При известных значениях (по крайней мере, для случая линейной модели) могут быть получены поправки , к значениям параметров .

Оптимизационная задача

Невязки

Для определения параметров после этапа структурной идентификации, на котором выбирается вид функции , задача сводится, как и в предыдущем подразделе, к оптимизационной. Образуют невязки выхода модели и объекта на каждом – том измерении

  .

Оцениваемыепараметры

Оцениваемые параметры выбираются таким образом, чтобы все эти невязки были минимальны по модулю, т. е. решается задача минимизации функций:

  ,где вектор может принимать любые значения.

Методы свертывания критерия невязки

Эта задача является многокритериальной и может быть решена только при свертывании критерия, что можно сделать, например, одним из следующих способов:

1. модульный критерий;
2. квадратичный критерий;
3. показательный критерий;
4. минимаксный критерий, .(осуществляется минимизация этого критерия);
5. взвешенный критерий;

где .

Последний критерий обобщает все предыдущие.

Задача идентификации теперь представляется в виде

,где критерий невязки может быть выбран одним из указанных способов. При этом результат идентификации будет зависеть от выбора критерия, так как различные критерии могут иметь минимумы, отличающиеся по значению и положению друг от друга.

Выбор критерия, прежде всего, зависит от характера помех , т. е. от их вероятностных свойств. Например, при нормальном распределении помех наибольшую точность дает минимизация по квадратичному критерию, который удовлетворяет также требованию простоты решения задачи ввиду гладкости функций вида .

Выбор параметра

Рассмотрим теперь особенности выбора оптимального значения параметра в алгоритме адаптивной шаговой идентификации для объекта типа (230), по одному их выходов, к которому приложена помеха , имеющая следующие параметры закона распределения , .

Рассмотрим, как и в предыдущих случаях, локальную невязку на -том шаге

  ,для алгоритма, аналогичного приведенному выше (5.79)

Оптимальное значение параметра может быть получено в результате преобразований, аналогичных рассмотренным выше.

Опуская эти преобразования, имеем [35]

.         (5.87)Из сравнения этого выражения с соотношением (5.81) для детерминированного случая можно видеть, что сходимость адаптивного процесса идентификации для стохастического объекта в значительной мере зависит от статистических свойств помехи .

Следует заметить, что прямо воспользоваться этим выражением для адаптивной идентификации нельзя, так как неизвестен вектор невязки параметров , поскольку неизвестны параметры модели, которые мы и пытаемся оценить с помощью искомого алгоритма. Получается как бы замкнутый круг. Однако это препятствие можно обойти путем замены  на , которые отличаются на и, следовательно, в среднем совпадают. Тогда приближенно имеем:

А алгоритм адаптивной идентификации стохастического объекта примет следующий вид:

.        (5.88) 

Вопрос сходимости для непрерывного объекта

Выше рассмотрен случай пассивной адаптивной идентификации. Если имеется возможность активного воздействия на объект, то выбор вектора ортогонального предыдущим векторам способствует ускорению сходимости процесса, но из-за наличия помехи все же не гарантирует окончания идентификации за конечное число шагов.

Для случая непрерывного объекта и метода вопрос сходимости алгоритма решается проще, чем для шагового метода. Сходимость здесь обеспечивается при условии и достаточной вариабельности вектора . Скорость сходимости прямо пропорциональна , но при очень большом его значении может возникать неустойчивость. Структурная схема алгоритма не отличается от приведенного на рис. 4.14 и 5.15 соответственно для линейной и нелинейной моделей.

Динамические модели

Параметрические и непараметрические модели

Рассмотрим методы идентификации объектов, оператор которых имеет память, т. е. выход в момент отражает не столько состояние входа в этот момент, сколько его значения в предыдущие моменты времени.

Следует различать параметрические и непараметрические модели объектов. В первом случае модель определяется набором параметров (коэффициентов), которые оцениваются в процессе идентификации. Непараметрическая же модель определяется, в общем случае, непрерывной функцией (чаще всего функцией времени). Однако она может быть задана также точками или в виде разложения в ряд по некоторой системе функций. В последнем случае мы опять приходим к параметрической модели.

Линейная параметрическая модель для одномерного случая

Линейная параметрическая модель для одномерного случая представляет обыкновенное дифференциальное уравнение вида

.        (5.89)Часто эту модель удобно записать в виде системы дифференциальных уравнений, для чего вводятся новые переменные

.В результате получаем систему уравнений вида:

.        (5.90)В векторной форме эта модель имеет вид:

.        (5.91) 

Линейная параметрическая модель с числом входов больше единицы

При числе входов больше единицы для случая линейной модели вектор состояния образуется как сумма векторов:

,где вектор отражает состояние – того входа.

Тогда уравнение для линейной динамической системы с несколькими входами имеет вид:

Исходной информацией для идентификации являются состояние входов и выхода объекта в интервале времени .

Как и в предыдущих случаях, задачу идентификации можно свести к минимизации функции невязки в виде квадрата разности правой и левой частей уравнения (5.89) при подстановке в него функций и наблюдений объекта

.        (5.92)Задача минимизации формулируется в виде

и сводится к решению системы уравнений, образующихся в результате приравнивания нулю частных производных:

   ;   .После преобразований получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

    ;   ;где,   .

;;В представленном непрерывном виде система относительно просто решается на аналоговых и гибридных ЭВМ.

Сложности связанные с дискретностью объекта

Решение этой задачи усложняется при дискретном характере объекта или способа получения информации. Здесь возникают дополнительные погрешности, связанные с численным интегрированием и дифференцированием, для чего используются специальные подпрограммы, входящие в состав математического обеспечения современных ЭВМ. Погрешность численного дифференцирования можно снизить применением специальных методов сглаживания исходных сигналов.

Адаптивная идентификация динамической нелинейной модели

Математическое описание модели

Остановимся теперь на случае адаптивной идентификации динамической нелинейной модели. Пусть– известная функция с неизвестными параметрами.

Система уравненийрешается либо в непрерывном виде на АВМ либо численно интегрируется на ЦВМ (например, методом Рунге – Кутта) при заданных начальных условиях и фиксированных значениях идентифицируемых параметров. Полученное решение

сопоставляется с наблюдаемым значением , а образующаяся при этом невязка вида

минимизуется в зависимости от искомых параметров .

При адаптивном методе идентификации невязка в момент представляется в виде и минимизируется в каждый момент времени .

Методы решения, структура системы

Эта задача может быть решена с использованием поисковых методов оптимизации (рис. 5.17).

Рис. 5.17 Структурная схема поисковой идентификации

При этом мы не касаемся конкретной реализации алгоритмов блока минимизации, так как они зависят от постановки задачи, свойств реальных объектов и могут требовать в сложных случаях больших затрат вычислительных средств. В отношении же общей структуры системы (рис. 5.17) следует отметить, что наличие в ней операторов дифференцированияи, способных усиливать помехи (особенно высокочастотные), приводит к необходимости применения соответствующих методов и устройств и для сглаживания исходных сигналов и .

Проблема сглаживания и фильтрации

Проблема в общем случае

Проблема сглаживания и фильтрации в общем случае является достаточно сложной, ей посвящено много работ, обзор которых выходит за рамки данного пособия. Основной задачей в этой проблеме является выбор такого оператора сглаживающего фильтра, который бы наилучшим образом подавлял помеху (ее статистические свойства, в том числе частотные, должны быть известны), в наименьшей степени искажая полезный сигнал.

Случай значительного различия между помехами и полезным сигналом

В самом простом случае, когда частотные характеристики полезного сигнала и помехи существенно различны, эту задачу можно решить, пропуская исходный сигнал, например , через инерционное звено, описываемое дифференциальным уравнением первого порядка

.          (5.93)Схема реализации такого фильтра представлена на рис. 5.18. Здесь же приведено его дифференциальное уравнение и соотношение для настройки параметров, его реакция на ступенчатый входной сигнал и два примера преобразования исходного сигнала в сглаженный .

Рис. 5.18 К вопросу фильтрации и сглаживания

Свойства фильтра, а значит, и вид сглаженного сигнала можно менять выбором соответствующей постоянной времени .

Дискретным аналогом такого фильтра является оператор экспоненциального сглаживания, который записывается в следующем виде:

.         (5.94)где

• – новое сглаженное значение (оценка среднего значения );
• – предыдущее сглаженное значение;
• – параметр сглаживания.

Выбор параметра сглаживания

При простоте этого алгоритма выбор параметра сглаживания не является столь же простой задачей. Показано, например, что экспоненциальное сглаживание дает результаты, близкие к методу скользящего среднего, если параметр удовлетворяет следующему соотношению

.        (5.95)где под можно понимать число используемых для сглаживания данных. Значение , получаемое из этого соотношения, следует рассматривать лишь как первое приближение, которое требует уточнения в конкретных условиях в зависимости от свойств полезного сигнала и помехи или хотя бы от характера исходного сигнала , что может привести к необходимости выбора значительно более сложной структуры фильтра, однако эта задача выходит за рамки нашего рассмотрения.

Идентификация непараметрической модели

Описание поведения объекта

Остановимся теперь на методе идентификации для случая непараметрической модели, которая может представляться в виде импульсной (весовой) переходной функции, амплитудной и фазовой характеристик. Известно, что свойства линейного динамического объекта однозначно определяются его реакцией на единичное импульсное возмущение (см. рис. 5.6,а). В этом случае поведение объекта описывается интегралом свертки

Алгоритм для стохастического случая

Аналогом этого уравнения для стохастического случая, когда ко входу объекта наряду с полезным сигналом приложена помеха, является уравнение статистической динамики (5.57) , в котором роль входного и выходного сигналов играют соответственно автокорреляционная функция входаи взаимная корреляционная функция выхода и входа .

Более подробно эти вопросы, в том числе для случая перехода от непараметрической к параметрической форме модели рассмотрены в разделе 3; здесь мы обратились к ним из соображения цельности представления о методах идентификации.

Представление нелинейных динамических объектов линейными моделями

Примечательные модели подобного рода

Ниже рассмотрим случаи, когда нелинейные динамические объекты могут быть представлены моделями линейными относительно идентифицируемых параметров. В этом случае удается построить относительно простые и в то же время достаточно эффективные алгоритмы идентификации. Среди моделей такого рода следует выделить модели Вольтерра и Гаммерштейна.

Модель Вольтерра

Модель Вольтерра связана с рядом, названным его именем, которым представляется выход нелинейной динамической системы

.        (5.96)Ряд Вольтерра является функциональным обобщением ряда Тейлора, его первый член отражает линейные динамические свойства объекта, второй – квадратические, третий кубические и т. д.

Для удобства идентификации целесообразно представить эту задачу в параметрической форме в виде разложения по определенной системе функций. Линейную часть представим следующим образом:

,а нелинейную – в виде:

.Подставляя эти выражения в (5.96), получаем:

.         (5.97)где

•  ;
• ;
• .

Задача идентификации сводится, таким образом, к определению параметров разложения (5.97), общее число которых.

Интегральная невязка в этом случае имеет следующий вид:

.Задача ее минимизации, как и в предыдущих случаях, сводится к системе линейных алгебраических уравнений, конкретную реализацию которых мы здесь не приводим.

Если идентификация осуществляется в темпе с процессом или используется последовательно поступающая информация, то более удобен алгоритм адаптивной идентификации. В этом случае образуется локальная невязка

,минимизация квадрата которой градиентным методом приводит к адаптивному алгоритму:

,где .

Структурная схема реализации этого алгоритма аналогична изображенной на рис. 5.15.

Модель Гаммерштейна

Модель Гаммерштейна основывается на предположении, что нелинейность и динамику объекта можно разделить и представить в виде последовательного соединения нелинейного безинерционногои линейного динамического звеньев:

Таким образом, здесь нужно идентифицировать две функция и , определяющие выход модели:

.Далее, как в случае модели Вольтерра, можно параметризовать эти функции, а нелинейность устранить введением новых параметров. После таких преобразований можно в зависимости от конкретных целей и особенностей объекта применять один из рассмотренных методов идентификации.

Описание объекта динамической стохастической моделью

Математическое описание модели

В заключение этого подраздела рассмотрим один из наиболее сложных случаев, когда объект описывается динамической стохастической моделью. Объекты такого рода могут быть представлены в виде:

,где

• – идентифицируемый оператор;
• и – фактические (истинные) значения параметров входа и выхода объекта.

Можно предположить, что измеряемые значения входа и выхода отличаются от фактических на величину ошибок измерения, т. е.

,где и – ошибки измерения входа и выхода.

Структурная схема

Структурная схема такого объекта приведена на рис. 5.19, где и – измерители входа и выхода.

Рис. 5.19 Представление стохастического объекта

Связь стохастичности с точностью измерений

Стохастичность объекта связывается, таким образом, с точностью измерений его входа и выхода, в то время как идентифицируемый оператор предполагается детерминированным. В действительности же случайная помеха может входить и в оператор объекта (внутренняя помеха), т. е.

.        (5.98)Для учета этого факта необходимо знать характер взаимодействия помехи с объектом, т. е. его структуру. Часто такой информации нет, поэтому целесообразно привести помеху ко входу и выходу объекта, в результате чего имеем:

.        (5.99)Такая аппроксимация выражения (5.98) для большинства задач оказывается оправданной. Задачей идентификации является определение модельного оператора (в идеальном случае близкого к), связывающего фактические значения входов и выходов объекта, т. е. по информации об измеряемых значениях и .

Фильтрация помех

Распространенным подходом к решению задачи синтеза такого оператора является фильтрация помех, что позволяет в ряде случаев приблизить измеренные значения и к истинным , . Для этой цели можно воспользоваться одним из методов фильтрации, которые выбираются, главным образом, в зависимости от характера помехи и ее отношения к полезному сигналу.

Если характер помехи позволяет отфильтровать ее до определенного допустимого уровня, то дальнейшая идентификация может производиться таким же образом, как и в случае детерминированных динамических объектов. Но такой подход не всегда возможен, так как для эффективной фильтрации помех необходимо знать их свойства. При этом, если спектральные характеристики полезного сигнала и помехи близки, то вместе с помехой можно отфильтровать и полезный сигнал, несущий информацию о свойствах объекта. В подобных случаях необходимо использовать другие методы, которые основываются либо на усреднении помех, либо на выборе определенного вида пробных воздействий. Один из таких методов, относящийся к первому подходу, был рассмотрен в разделе 5.3 (см. уравнение статистической динамики и его приложения), там же мы коснулись вопроса нанесения пробных воздействий для детерминированного случая (или близкого к таковому). При наличии же существенного уровня помех эта проблема значительно усложняется, так как для выбора характера пробных сигналов необходимо учитывать свойства объектов и помех.

Возможно, вам будет интересно также: