Введение
Мартеновская и электроплавка, представляющие собой совокупность целого ряда одновременно протекающих и находящихся в тесной взаимосвязи физических и химических процессов, являются сложными объектами для математического описания. В настоящее время имеется большое число моделей мартеновского процесса, построенных с помощью различных подходов. Сознательно избегая обзора и характеристики этих моделей из-за ограниченности объема данного пособия, поставим своей целью на некоторых примерах проиллюстрировать процесс создания и совершенствования моделей.
В связи с этим, рассматриваемые ниже модели, не претендующие на какие-либо преимущества в смысле адекватности перед другими известными моделями, взяты в качестве примеров лишь потому, что здесь имеется возможность проследить весь процесс моделирования.
Чтобы чрезмерно не усложнять задачу, основное внимание уделяется описанию процесса обезуглероживания.
Процесс построения модели обезуглероживания на основе уравнений диффузии
Постановка задачи (первый этап моделирования)
Процесс обезуглероживания
Основа механизма
Изучение имеющихся на момент создания модели литературных данных позволило составить определенное представление о механизме процесса обезуглероживания (рис. 8.3).
Рис. 8.3 Схема механизма процесса обезуглероживания в мартеновской ванне
Принято решение взять за основу этого механизма допущение о лимитирующей роли процесса доставки кислорода к месту реакции. Далее сделаны следующие предположения.
Условия протекания реакции окисления углерода
Реакция окисления углерода
, зарождающихся, главным образом, на подине, а также на поверхности кусков руды и известняка, плавающих на границе шлак – металл. При продувке ванны кислородом реакция обезуглероживания может протекать также на поверхности струй и пузырьков кислорода, внедряющихся непосредственно в ванну.
Беспродувочный мартеновский процесс для периода чистого кипения
Рассмотрим случай классического (беспродувочного) мартеновского процесса для периода чистого кипения. В период безрудного кипения необходимый для реакции кислород доставляется к месту протекания реакции через слой шлака и металла путем диффузии. Поскольку скорость самой химической реакции значительно больше скорости диффузии, то, очевидно, скорость окисления углерода лимитируется скоростью подвода кислорода. Движущей силой диффузионного процесса являетсяградиент концентраций кислорода.
Диффузия
Диффузионные звенья передачи кислорода из газовой среды в металл
Таким образом, процесс передачи кислорода из газовой среды в металл можно рассматривать как ряд диффузионных звеньев, в каждом из которых кислород встречает более или менее значительное сопротивление.
Например:
- преодоление границы газ – шлак;
- диффузия кислорода через шлак;
- преодоление границы шлак – металл и диффузия кислорода в металле к месту реакции;
- реакция обезуглероживания и накопление кислорода в металле и шлаке.
Каждое такое звено можно, в свою очередь, представить состоящим из ряда элементарных звеньев.
Уравнения диффузионных звеньев
Уравнения диффузионных звеньев могут быть написаны на основе уже приводившегося во втором разделе соотношения, выражающего скорость переноса вещества под влиянием молекулярной и турбулентной диффузии
(8.11)
– диффузионный поток вещества, 
;
– падение концентрации вещества в направлении диффузии, 
;
– константа скорости переноса, 
.
Так выглядит в данном примере первый этап моделирования – содержательная постановка задачи.
Математическое описание отдельных звеньев (второй этап моделирования)
Структурная схема модели
Перейдем ко второму этапу – математическому описанию отдельных звеньев. Целью этого этапа является получение замкнутой системы уравнений.
Основу структурной схемы модели представленной на рис. 8.4, составляют уравнения диффузии, конкретизированные для отмеченных выше звеньев 1 – 3, которым на структурной схеме соответствуют блоки 1, 2, 5.
Рис. 8.4 Структура модели на основе уравнений диффузии
Реакция обезуглероживания, накопление и распределение кислорода в металле и шлаке описываются уравнениями, представленными в блоках 6, 7, 9, 9а, 8, 4.
Блоки 3, 10, 11 позволяют замкнуть система уравнений, два последних отражают закон сохранения вещества(кислорода и углерода).
Процесс формирования замкнутой системы уравнений
Переход кислорода через границу газ – шлак
Рассмотрим подробнее процесс формирования замкнутой системы уравнений.
Первое звено – переход кислорода через границу газ – шлак описывается следующим уравнением
(8.12)
– скорость подвода кислорода;
– количество кислорода, подведенного к звену за время 
;
– коэффициент массоотдачи на границе газ – шлак;
– площадь зеркала ванны;
, 
–парциальное давление кислорода, соответственно, в газовой фазе и равновесное на границе шлак – металл.
Это уравнение может быть решено относительно , чтобы затем осуществить связь первого звена с последующим
(8.13) и 
блока 1, реализующего это уравнение, можно рассчитать в зависимости от расхода избыточного кислорода на входе в рабочее пространство печи и количества продуктов сгорания 
.
Диффузия кислорода через слой шлака
Второе звено (блок 2) – диффузия кислорода через слой шлака описывается аналогичным уравнением, которое сразу решается относительно парциального давления кислорода на границе шлак – металл 
(8.14)
– коэффициент массоотдачи.
При этом делается допущение, что скорость переноса кислорода через границы звеньев 1 и 2 одинакова, т. е. имеет место установившийся процесс.
Переход от парциального давления кислорода к активности FeO в шлаке
Блок 3 носит вспомогательный характер и предназначен для перехода от парциального давления кислорода к активности 
в шлаке. Пользоваться парциальными давлениями удобно только для выражения концентрации веществ в газовой фазе (здесь эта величина поддается измерению). Для шлака и металла удобнее оперировать с активностью или с концентрацией вещества, выраженной в процентах. Чтобы получить соотношение для перехода от парциального давления кислорода к активности на нижней границе шлака, следует обратиться к реакции диссоциации :
.
Концентрация кислорода в металле при равновесии со шлаком
Продолжим описание процесса синтеза математической модели, обратившись к блоку 4 (см. рис. 8.4). Представим, что на выходе блока 3 получена активность на нижней границе шлака. Если предположить, что в мартеновской ванне химические реакции не протекают, то концентрация кислорода в металле при равновесии со шлаком должна отвечатьзакон распределения
(8.15)
– константа распределения между шлаком и металлом, зависящая от температуры.
Переход кислорода из шлака в металл
В действительности, равновесия в мартеновской ванне нет, реакция обезуглероживания протекает непрерывно, и поступающий кислород непрерывно расходуется на окисление углерода. Так как скорость химической реакции довольно высока по сравнению со скоростью диффузии, фактическое содержание кислорода в металле
всегда значительно меньше равновесного по распределению 
, но несколько выше равновесного по реакции 
. Разность концентраций – и является движущей силой процесса перехода кислорода из шлака в металл, который описывается уравнением диффузии, входящим в состав блока 3 модели
(8.16)
– количество кислорода, поступающего в металл;
– коэффициент массоотдачи кислорода из шлака в металл.
Реакция окисления углерода
Далее целесообразно обратиться непосредственно к реакции окисления углерода, из условия равновесия которой можно получить соотношение
(8.17)
– относительно постоянная величина, мало зависящая от температуры и содержания углерода и в среднем равная 0,0025;
–парциальное давление в пузырьках, зависящее от гидростатического давления столба металла и шлака, а также от силы поверхностного натяжения, имеющей существенное значение лишь для пузырьков очень маленького диаметра, вклад которых в скорость окисления углерода невелик.
Для практических расчетов можно пользоваться формулой
(8.18)
– средняя глубина ванны.
Фактическая концентрация кислорода в металле
Фактическая концентрация (%) кислорода в металле 
превышает равновесную по реакции на некоторую величину 
, обусловленную диффузионным сопротивлением на границе металл – пузырьки , т. е.
(8.19) может быть принята равной 0,004%. В зависимости от условий подвода кислорода, свойств шлака и других факторов эта величина в отдельные моменты плавки может повышаться.
Накопление кислорода в шлаке и металле
Количество кислорода, накопленного в шлаке, можно найти следующим образом. С повышением содержания кислорода в металле его содержание в шлаке должно вырасти на величину, соответствующую закону распределения (при условии неизменного перепада концентраций между металлом и шлаком)
(8.20)
– количество кислорода, накопленного в металле.
Переходя от ( ) в шлаке к содержанию кислорода в процентах от массы металла, получим
(8.21)
(8.22)
– количество шлака, % от массы металла.
При =6,0%; 
=2,0; =0,0023 (при температуре 1600°С) получаем 
= 2,9.
Таким образом, блоки 6 и 7, реализующие уравнения (8.17) и (8.19), замыкают отрицательную обратную связь по накоплению кислорода в металле, а блоки 9 и 9а – по накоплению кислорода в шлаке, что выражается в уменьшении скорости окисления углерода по мере снижения его концентрации в конце плавки. Это достигается за счет роста вычитаемых в блоках 5 и 8. В блоке 5 интегрируется уравнение (8.16), а в блоке 8 определяется количество кислорода, затрачиваемое непосредственно на реакцию окисления углерода
(8.23)Количество окисленного углерода
Затем по стехиометрическому соотношению рассчитывается количество окисленного углерода
(8.24)Текущее содержание углерода в металле
Текущее содержание углерода в металле
(8.25)Исследование и экспериментальная проверка модели
Влияние на характер обезуглероживания различных факторов
Следующие этапы – исследование и экспериментальная проверка модели. Разработанная модель позволяет изучать влияние на характер обезуглероживания таких факторов, как состав газовой фазы, содержание оксида железа в шлаке и его активность, изменение коэффициентов массоотдачи, что связано с составом шлака и температурой, превышение фактического содержания кислорода в металле над равновесным по реакции, глубина ванны и т. д.
На рис. 8.5 приведен пример исследования на модели зависимости характера обезуглероживания от активности в шлаке, а на рис. 8.6 пример экспериментальнойпроверки модели.
Рис. 8.5 Исследование зависимости характера обезуглероживания от активности оксида железа в шлаке
Рис. 8.6 Сопоставление модельных и фактических содержаний углерода по данным экспресс-анализа промышленной плавки
Исследование процесса и наглядное представление накопленных знаний в их взаимосвязи
Рассмотренная модель оказалась удобной для исследования процесса и наглядного представления накопленных знаний в их взаимосвязи. Использование ее для целей управления затруднено неопределенностью коэффициентов массоотдачи, которые становятся известными по существу только после конца плавки или отдельного ее отрезка и существенно колеблются от плавки к плавке.
В следующем примере поставим задачу построения модели, более приемлемой для целей управления.
Построение модели обезуглероживания на основе закона сохранения вещества
Условия перехода к модели обезуглероживания на основе закона сохранения вещества
Если предположить, что мартеновская или электросталеплавильная ванна достаточно интенсивно перемешивается путем продувки ее кислородом и поднимающимися пузырьками оксида углерода, а процесс находится в установившемся состоянии, то рассмотренную выше модель можно существенно упростить и сделать более приемлемой для использования в целях управления за счет исключения из нее диффузионных звеньев, положив в основу механизмазакон сохранения вещества(кислорода и углерода).
Математическое описание модели
Синтез структуры и математического описания блоков
В этом случае математическое описание модели представляется в виде системы балансовых уравнений по кислороду и углероду для газовой фазы и ванны мартеновской печи.
Рассмотрим кратко процесс синтеза структуры и математического описания блоков (второй этап моделирования) с учетом приведенной выше постановки задачи (рис. 8.7).
Рис. 8.7 Структура модели на основезакон сохранения вещества
Избыточное количество кислорода
Количество кислорода, избыточное над теоретически необходимым для снижения всех видов топлива в рабочем пространстве (например, мартеновской) печи в единицу времени, определяется уравнением
(8.26)
– расход 
-го окислителя;
– потери и подсосы воздуха;
– расход 
-го топлива;
– теоретический расход воздуха (кислорода) для сжигания единицы топлива соответствующего вида.
Количество кислорода, поступающего в ванну из газовой фазы в единицу времени
Далее может быть определено количество кислорода, поступающего в ванну из газовой фазы в единицу времени
(8.27)
– количество кислорода, необходимое для дожигания оксида углерода, выделяющегося из ванны;
– количество неусвоенного ванной кислорода, уходящего с продуктами сгорания, определяется соотношениями, приведенными в блоках 3 и 4.
Структура модели
Условные обозначения величины в блоках модели следующие:
и – содержание кислорода и оксида углерода в продуктах сгорания 
;
– превышение количества продуктов сгорания над количеством воздуха, необходимого для сжигания единицы топлива;
– количество продуктов сгорания от сжигания , выделившегося из ванны;
– расход кислорода или воздуха, вдуваемого непосредственно в ванну.
Обозначения остальных переменных приведены выше и в предыдущем примере.
Количество кислорода, поступающего в металл в единицу времени
Блоком 5 модели определяется количество кислорода, поступающего в металл в единицу времени
(8.28)Количество кислорода, поступающего в металл за определенное время
После интегрирования в блоке 6 определяется количество кислорода, поступающего в металл за определенное время
(8.29)
– коэффициент для перехода от размерности кислорода в кубических метрах к размерности в процентах от массы металла.
Количество кислорода, затраченного на реакцию окисления углерода
В блоке 7 рассчитывается количество кислорода, затраченного на реакцию окисления углерода
(8.30)
Количество кислорода, накопленного в металле, описывается таким же образом, как и в предыдущей модели.
Неопределенный параметр модели
Рассмотренная модель, в отличие от предыдущей, имеет лишь один неопределенный параметр – величину потерь и подсосов воздуха , которая может быть описана уравнением регрессии вида
(8.31)
– расход вентиляторного воздуха.
Использование модели
Эта модель более приемлема для использования в целях управления, так как в ней проще и определеннее отражено влияние на процесс обезуглероживания основных управляющих параметров: расходов газообразных окислителей и топлива, продувочного кислорода и присадок твердых окислителей в ванну.
Недостатки модели
Вместе с тем, и эта модель не лишена некоторых недостатков: описывает процесс в статике без учета переходных режимов, не отражает влияния на процесс обезуглероживания изменения содержания оксидов железа в шлаке.
Усовершенствование модели
Можно предпринять еще одну попытку совершенствования модели, например, за счет сочетания положительных свойств двух рассмотренных выше моделей и учета внутренних обратных связей. Обобщенная структурная схема такой модели представлена на рис. 8.8.
Рис. 8.8 Блок-схема усовершенствованной модели процесса обезуглероживания
Наличие в этой модели положительной обратной связи по интенсивности перемешивания ванны выделяющимися пузырьками оксида углерода и отрицательных обратных связей по накоплению кислорода в металле и шлаке при снижении концентрации углерода, уменьшению содержания оксидов железа в шлаке при повышении скорости обезуглероживания, экранирующему действию выделяющегося на ванне оксида углерода позволяет более полно отразить свойства мартеновской ванны как объекта с саморегулированием. С помощью генераторов случайных сигналов ГСС1 – ГСС4 может быть отражен случайный характер (законы распределения) некоторых параметров, таких как потери и подсосы воздуха, коэффициенты турбулентной диффузии и , инерционность передачи кислорода через слой шлака 
.
Обобщенная схема модели сталеплавильных процессов на основе законов сохранения вещества, энергии и кинетики химических реакций
Еще один пример структурной схемы модели, основанной, главным образом, на законах сохранения вещества и энергии, а также кинетики химических реакций, приведен на рис. 8.9.
Рис. 8.9 Обобщенная схема модели сталеплавильных процессов на основе законов сохранения вещества, энергии и кинетики химических реакций
Предложенная здесь укрупненная структура, отражающая в общем виде существующие представления, может быть использована в качестве основы для последующего математического описания сталеплавильных процессов в различных агрегатах: мартеновских, электросталеплавильных печах, конвертерах и агрегатах непрерывного действия.
Окислительный потенциал системы для подовых процессов формируется в этих моделях с учетом прихода и расхода всех оксидов железа в динамике. Подобным же образом описывается процесс шлакообразования. При этом динамика плавления лома, усвоения известняка, извести и руды представляется дифференциальными уравнениями первого порядка. Кинетика окисления примесей описывается на основе закона действующих масс. Тепловые процессы отражаются с помощью динамического теплового баланса. Ряд недостающих соотношений получается с использованием экспериментально-статистических методов, т. е. эти модели, по-существу, также являются комбинированными (детерминированно-вероятностными).