Описание динамических свойств объекта в условиях помех

Поведение случайной величины во времени

При регрессионном анализе оперируют со случайными величинами, значения которых на протяжении всего времени проведения каждого отдельного опыта остаются постоянными или их изменением по каким-либо соображениям можно пренебречь. Однако большинство случайных величин, характеризующих протекание технологических процессов, непрерывно изменяется во времени, т. е. имеем дело со случайным процессом.

Случайный процесс

Взаимосвязь случайного процесса и случайной величины

Случайный процесс можно рассматривать как систему, состоящую из бесконечного множества случайных величин, а случайная величина, в свою очередь, является сечением случайного процесса для определенного фиксированного момента времени. Примерами случайных процессов являются непрерывное изменение давления кислорода и газа в трубопроводах, потери и подсосы воздуха, состав отходящих газов и т. д.

Взаимосвязь случайного процесса и случайной величины

Математическим аппаратом для описания случайных процессов является теория случайных функций [33].закон распределения случайного процесса можно рассматривать как совокупность законов распределения бесконечного множества случайных величин. Однако практическое использование такого закона невозможно, поэтому обычно пользуются определенными характеристиками закона распределения случайного процесса, которые, в отличие от числовых характеристик случайных величин, являются функциями времени. Примеры случайных процессов приведены на рис. 5.4.

Рис. 5.4 Примеры случайных процессов

Характеристики случайного процесса

Математическое ожидание

Математическое ожидание случайного процесса есть неслучайная функция , которая при каждом значении аргумента равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции:

        (5.39) 

Дисперсия

Аналогично определяют дисперсию случайного процесса

        (5.40)где – число отдельных реализаций случайного процесса.

Двух отмеченных выше характеристик недостаточно для описания случайного процесса, так как случайные процессы, имеющие одинаковые математические ожидания и дисперсии, могут иметь различный характер изменения. Процесс на рис.5.4,а характеризуется плавным изменением значений во времени, что позволяет с достаточно большой вероятностью предсказывать значение процесса в момент по его значению в момент , т. е. имеет место большая степень тесноты связи между сечениями случайного процесса для различных моментов времени. Процесс, представленный на рис. 5.4,б, отмечается резкими изменениями значений во времени, что не позволяет со сколько-нибудь большой вероятностью предсказывать его поведение в будущие моменты времени, т. е. степень связи между сечениями случайного процесса для разных быстро затухает с увеличением интервала

Корреляционная функция

Отмеченные свойства случайного процесса, т. е. степень связи между его сечениями для различных моментов времени, характеризуются корреляционной функцией, которая определяется как неслучайная функция двух аргументов и .

        (5.41)где и – центрированные значения для двух сечений случайного процесса в моменты времени и

;.Тогда оценка корреляционной функции для двух сечений и случайного процессапринимает вид:

        (5.42)Вычисление оценок корреляционных функций значительно упрощается для практически важного и распространенного класса стационарных случайных процессов, у которых корреляционная функция зависит только от величины интервала между сечениями и не зависят от момента отсчета времени.

Эргодические свойства случайного процесса

Вычислительные процедуры еще более упрощаются, если стационарный случайный процесс обладает эргодическим свойством, заключающимся в том, что среднее по времени процесса, вычисленное по одной достаточно большой реализации, приближенно равно среднему по множеству реализаций этого процесса. В этом случае корреляционная функция, определяемая по одной реализации, есть математическое ожидание произведения значений случайного процесса, взятых с интервалом времени .

        (5.43)При этом оценка корреляционной функции, получаемая усреднением указанного выше произведения координат для одинаковых интервалов между сечениями случайного процесса, определяется из следующего соотношения:

        (5.44)Вместо интеграла для удобства вычислений можно записать эту формулу в виде конечных сумм, разбив весь интервал записи реализации на равных частей, каждая длиной :

        (5.45)где

Часто пользуются нормированной корреляционной функцией:

        (5.46)при ; ;

При , т. е. с увеличением интервала времени степень тесноты связи между сечениями случайного процесса уменьшается.

Рис. 5.5 Примеры графиков автокорреляционных (1,2) и взаимной корреляционной функций (3)

Это можно видеть на рис. 5.5, где кривая 1 относится к случайному процессу (см. рис. 5.4,а), а кривая 2 к процессу, представленному на рис. 5.4,б. В связи с тем, что степень тесноты связи между сечениями случайного процесса (см. рис. 5.4,а) затухает плавно, возможно автопрогнозирование значений этого процесса на определенный будущий интервал времени, в то время как для процесса, представленного на рис. 5.4,б, в связи с быстрым затуханием автокорреляционной функции 2 это практически невозможно. Информация о времени затухания (спада) корреляционных функций широко используется также при определении частоты съема данных в экспериментах, результаты которых используются для регрессионного анализа. Для устранения взаимосвязи между случайными величинами из-за влияния динамических свойств объекта временной интервал съема данных должен превышать время спада автокорреляционной функции.

Совокупность случайных величин

Протекание металлургических процессов нередко определяется совокупностью случайных величин. Например, скорость обезуглероживания зависит от подвода окислителя и тепла к месту реакции. Такая совокупность характеризуется математическим ожиданием каждой случайной величины, например и , и их взаимной корреляционной функцией, которая является неслучайной функцией двух аргументов и и характеризует степень связи межу сечением случайного процесса для и сечением случайного процесса для :

       (5.47)Для эргодического стационарного случайного процесса это есть математическое ожидание произведения значений случайных процессов и , разделенных интервалом времени

         (5.48)или в развернутом виде

        (5.49)Выражение для нормированной корреляционной функции имеет вид

        (5.50)По сдвигу максимума графика взаимной корреляционной функции относительно начала координат по оси можно приближенно судить о величине инерционности или запаздывания в объекте, если один из случайных процессов является его входом, а другой – выходом. Эта задача будет рассмотрена ниже на конкретном примере.

Динамические характеристики объекта

Наиболее распространенные методы определения динамических характеристик объекта

Реакция объекта на возмущение типа единичного скачка

Предварительно обратимся к некоторым из наиболее распространенных методов определения динамических характеристик объекта.

Рис. 5.6 Виды переходных процессов при типовых возмущениях

На рис. 5.6,а приведена реакция одноемкостного объекта на ступенчатое возмущение типа единичного скачка, называемое переходной функцией или временной характеристикой. Дифференциальное уравнение одноемкостного объекта имеет вид:

        (5.51) 

Реакция объекта на единичный импульс

На рис. 5.6,б представлена весовая или импульсная функция объекта , т. е. его реакция на единичный импульс. Используя принцип суперпозиции, можно представить возмущение любого вида в виде суммы бесконечно большого числа бесконечно малых импульсов. Тогда реакцию объекта можно представить через весовую функцию следующим образом:

        (5.52) 

Реакция объекта на возмущение в виде гармонических колебаний

На рис. 5.6,в показана реакция объекта на возмущения в виде гармонических колебаний, на основе которой могут быть получены его амплитудно – фазовые характеристики, так как отношение амплитуд и , а также сдвиг по фазе при различных частотах входных возмущений теснейшим образом связаны с динамическими свойствами объектов.

Целесообразность использования теории случайных процессов

Все три рассмотренных выше способа определения динамических характеристик требуют размыкания системы управления и подачи на вход объекта специально организованных пробных воздействий. Точность получаемых при этом характеристик в значительной мере зависит от отношения амплитуды пробного сигнала к уровню помех, действующих на данный объект. Поскольку очень часто величина пробного воздействия, а иногда и возможность его нанесения, ограничены технологическими или конструкционными факторами, то задача выделения полезного сигнала на фоне помех является достаточно сложной. Для этой цели широко используется теория случайных процессов (в том числе приведенные выше понятия об авто – и взаимокорреляционных функциях), с помощью которой решается задача оптимальной фильтрации сигналов, проходящих через динамические звенья.

Разомкнутый объект

Структурная схема

Структурная схема разомкнутого объекта, на который, кроме измеряемого возмущения, действуют помехи , представлена на рис. 5.7.

Рис. 5.7 Схема разомкнутого объекта при наличии помех на входе

Описание реакции объекта

Реакция объекта описывается следующим образом:

        (5.53)где и – соответственно операторы преобразования параметров и

С учетом уравнения (5.52), позволяющего представить реакцию объекта через весовую функцию, уравнение (5.53) можно представить в виде

        (5.54)Здесь можно видеть, что значение выхода объекта определяется не только полезным сигналом, но и неконтролируемой помехой, фильтрация которой для единичных реализаций практически невозможна, что значительно усложняет задачу получения динамической характеристики объекта по каналу , например, в виде весовой функции .

Получение уравнения статистической динамики

Поставим целью получить зависимость типа (5.54), в которой бы роль единичных сигналов играли их статистические характеристики в виде автокорреляционной и взаимной корреляционной функции .

Умножив обе части равенства (5.54) наи проинтегрировав для усреднения от 0 до получаем

        (5.55)Используя обобщенную теорему о среднем и учитывая, что

;;,получаем

        (5.56)Если стохастическая связь между измеряемым входным возмущением и неконтролируемой помехой отсутствует, то .

Таким образом, получаем нечувствительное к помехам (при выполнении указанного условия) соотношение для определения динамических характеристик объекта в виде весовой функции

         (5.57)которое носит название уравнения статистической динамики (уравнение Винера – Хопффа).

Необходимость решения этого уравнения относительно весовой функции , т. е. применение операции дифференцирования, приводит к некорректности этой задачи, заключающейся в том, что малые ошибки в определении корреляционных функций , приводят к большим ошибкам в определении .

Преодоление некорректности уравнения Винера-Хопффа

Рассмотрим один из способов преодоления некорректности этого уравнения. В большинстве практически важных случаев структурой весовой функции можно задаться, и тогда задача сводится к определению ее параметров поисковым методом.

Например, очень часто используется аппроксимация динамических свойств объекта по отдельным каналам в виде модели из последовательно соединенных апериодического (инерционного) звена первого порядка [см. уравнение (5.51)] и звена чистого запаздывания

        (5.58)которую можно представить уравнением вида

          (5.59)Таким образом, задача сводится к подбору численных значений постоянной времени , коэффициента передачи объекта , времени чистого запаздывания , удовлетворяющих уравнению (5.57). Наиболее просто эта задача решается на аналоговых вычислительных машинах из-за удобства графического представления исходных данных и результатов моделирования в режиме оперативного диалога. Структурная схема этого процесса приведена на рис. 5.8.

Рис. 5.8 Определение динамических характеристик на ЭВМ методом неявных функций

На вход динамического звена, характеристика которого представлена уравнением (5.59), подается возмущение в виде автокорреляционной функции . Реакция на это возмущение , получающаяся на выходе динамического звена [правая часть уравнения (5.57)], сопоставляется на электронно-лучевом индикаторе с графиком взаимной корреляционной функции выхода и входа объекта , определяемой на основе обработки экспериментальных данных (левая часть этого уравнения). Динамические характеристики объекта , , , полученные для момента наилучшего совпадения этих графиков, и будут искомыми. Поиск значений указанных параметров, удовлетворяющих уравнению (5.57), естественно, можно сделать целенаправленным, использовав, например, принципы планирования факторных экспериментов (см. раздел 5.2). В качестве критерия при этом можно взять степень несоответствия графиковив виде

        (5.60)Так как для каждого фиксированного набора параметров ,, уравнение (5.57) или (5.59), в данном случае представленное в виде

        (5.61)решается на ЭВМ методом понижения порядка производной (интегрирования), то проблема некорректности уравнения статистической динамики при этом снимается. Естественно, определенная зависимость точности оценок динамических характеристик объектов от достоверности получаемых в результате экспериментов (наблюдений) оценок корреляционных функций иостается.

Получение достоверных оценок корреляционных функций

Задача получения достоверных оценок корреляционных функций для процессов периодического типа, каковыми являются, например, все существующие сталеплавильные процессы, является достаточно сложной. Она решается с учетом особенностей функционирования конкретных объектов. Так например, применительно к мартеновским печам на большом экспериментальном материале показано, что для получения динамических характеристик по каналу абсолютный избыток воздуха в газовой фазе (окислительный потенциал) – скорость обезуглероживания в период чистого кипения корреляционные функции целесообразно определять не обычным способом по множеству ансамбля реализации входов и выходов, а путем предварительного определения авто– и взаимокорреляционных функций на коротких реализациях для каждой плавки отдельно и последующего усреднения по сечениям для всех фиксированных полученных таким образом частных оценок корреляционных функций:

        (5.62)где – число плавок.

Таким путем удается уменьшить влияние начальных условий, например окисленности шлака в начале чистого кипения. С использованием указанного подхода получены [32], например, следующие оценки динамических свойств мартеновской ванны по каналу абсолютный избыток воздуха в газовой фазе – скорость обезуглероживания в период чистого кипения для 200-т печи без продувки ванны кислородом: постоянная времени мин; коэффициент передачи ; чистое запаздывание мин.

Это означает, что общая инерционность передачи кислорода из газовой фазы в металл составляет порядка 20 – 25 мин. Вероятно, это объясняется значительной экранирующей ролью шлака при обычном беспродувочном процессе.

Интересно отметить, что общая инерционность передачи кислорода по этому же каналу до 600-т печи с продувкой ванны кислородом определенная таким же методом оказалась порядка 5 – 10 мин ( мин; ; ), т.е. примерно в два раза меньше, что вполне логично объясняется более интенсивным перемешиванием металла и шлака.

Кратко о других методах оценки динамических свойств объекта

Выше подробно рассмотрен лишь один из возможных экспериментально – статистических методов оценки динамических свойств объектов. Эта задача может, например, решаться методом подстраиваемой модели на ЭВМ непосредственно по первичным реализациям входных и выходных параметров без предварительного определения корреляционных функций.

Возможно, вам будет интересно также: