Примеры создания моделей на основе законов сохранения, макрокинетики, тепло- и массопереноса

Введение

Рассмотрим ниже несколько относительно простых моделей, которые, в конечном счете, могут являться составными частями (кирпичиками или блоками) более сложных моделей, используемых для описания металлургических и других технологических процессов.

Законы сохранения массы и импульса. Перенос потоков вещества и энергии

Закон сохранения массы

Использование упомянутых выше законов позволяет решать ряд очень важных для металлургии задач, таких как, измерение расходов жидкостей и газов, математическое описание процессов внедрения продувочного газа в жидкий металл и др.

Закон сохранения массы для изолированной системы заключается в том, что масса этой системы остается постоянной в течение всего времени движения, т. е. полная производная от массы по времени равна нулю

      (3.89)Если система не изолирована, и через ее поверхность входит и выходит вещество (например, жидкость), то изменение массы этого объема в единицу времени равно

      (3.90)где

– плотность.

Уравнение неразрывности потока

Для получения уравнения неразрывности потока, являющегося выражением закона сохранения массы, рассмотрим поток вектора через неподвижную замкнутую поверхность произвольной формы постоянного объема (рис. 3.7).

Рис. 3.7 Схема переноса вещества через замкнутую поверхность объема

В случае неравенства втекающей жидкости изменение массы этого объема равно

где

– проекция вектора скорости на нормаль к площадке .

Так как при постоянном объеме масса может изменяться только за счет плотности жидкости или газа, то можно записать

      (3.91)Положительному значению интеграла по поверхности соответствует некоторое количество вытекающей жидкости, при этом интеграл по объему должен быть отрицательным, так как при уменьшении массы ее плотность будет убывать. Для несжимаемой жидкости

      (3.92)т. е. поток скорости через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Например, для двух сечений потока несжимаемой жидкости в трубопроводе уравнение неразрывности можно записать в виде:

      (3.93) 

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса для неизолированной системы имеет вид:

где

– главный вектор внешних сил, приложенных к объему.

Это соотношение можно переписать в следующем виде:

      (3.94)Для конечного объема жидкости с поверхностью закон сохранения импульса (3.94) можно записать:

      (3.95)где интеграл по объему есть главный вектор массовых внешних сил, а интеграл по поверхности – соответственно поверхностных сил.

Примеры применения этих законов

Столкновение двух неупругих тел

Остановимся на нескольких примерах применения этих законов, начав с простейшего случая столкновения тел.

Представим, что два неупругих тела, например, две капли металла или шлака, сталкиваются друг с другом под определенным углом (рис. 3.8), объединяясь в результате в одно тело.

Рис. 3.8 Схема неупругого столкновения тел

Импульсы этих тел (произведение массы на скорость) до встречи были соответственно и , а после встречи их общая масса равна. Обозначив скорость объединившихся тел через , на основе закона сохранения импульса (количества движения) получим

откуда можно найти скорость образовавшегося в результате слияния тела

Учитывая векторный характер закона сохранения импульса, импульсы тел нужно складывать как векторы с учетом направления скоростей (рис. 3.8).

Аналогичным путем можно решать и более сложные задачи, например, соударения потоков частиц, но для этого должны быть известны вероятностные законы распределения масс и скоростей частиц, а также вероятные углы их встречи. Такого рода задачи приходится решать, например, при струйном рафинировании металла, а также в порошковой металлургии.

Глубина проникновения струи газа в жидкий металл

В качестве следующего примера рассмотрим интересный для металлургии вопрос о глубине проникновения струи газа, вдуваемого в жидкий металл (рис. 3.9).

Рис. 3.9 Схема внедрения газовой струи в жидкий металл

Положим в основу известное уравнение Бернулли, отражающее закон сохранения энергии по длине потока, согласно которому сумма всех видов энергии в любом сечении струи есть величина постоянная. Тогда напор на оси струи в конце участка погружения на бесконечно малом расстоянии от дна лунки (без учета потерь энергии)

На конечном участке погружения (на дне реакционной зоны) существует равновесие между осевым давлением струи газа и статическим давлением металла.

      (3.96)Связь между давлением струи в точке ее максимального погружения и осевым давлением струи на поверхность металла можно представить в виде:

      (3.97)Давление по оси струи на поверхность жидкого металла равно секундному импульсу газа , отнесенному к единице площади сечения струи в месте ее контакта с поверхностью ванны

Эта формула получена в предположении, что отраженный от ванны поток оказывает несущественное влияние на величину .

Значение импульса по длине струи сохраняется постоянным, т. е. . Тогда

      (3.98)Подставив значение в уравнение (3.97), получим

      (3.99)Приравнивая выражения для из уравнений (3.96) и (3.97), получим соотношение

      (3.100)из которого можно найти глубину реакционной зоны

      (3.101)В безразмерном виде это уравнение приобретает вид:

      (3.102)Из условия равенства и можно найти выражение для диаметра пятна контакта :

      (3.103)Допуская, что , получим уравнение

      (3.104)из которого можно определить диаметр реакционной зоны в месте контакта струи с поверхностью металла. Подробнее см. в работе.

Измерение расхода газа или жидкости в трубопроводе

Еще одним примером использования уравнения Бернулли и уравнения неразрывности является измерение расхода газа или жидкости в трубопроводе методам переменного перепада давлений на сужающем устройстве (рис. 3.10).

Рис. 3.10 Характер изменения давления при измерении расхода методом сужения потока

В соответствии с законом сохранения энергии для двух сечений I-II и II-II горизонтального трубопровода (при допущении отсутствия потерь на трение и теплообмен с окружающей средой, а также одинаковости давления по всему сечению) можно записать

     (3.105)где

и – средние статистические давления в первом и втором сечениях;

и – средние скорости потоков в этих сечениях.

Решая это уравнение совместно с условием (3.93) неразрывности струи

и вводя коэффициент сужения струи , после подстановок и преобразований получаем выражение для скорости потока в сечении II-II, а после умножения на площадь сечения сужающего устройства имеем уравнение для определения расхода жидкости или газа посредством измерения перепада давлений до и после сужения

       (3.106)где

– коэффициент расхода, учитывающий сделанные выше допущения.

Этот пример одновременно является наглядным подтверждением рассмотренного в гл. 1 положения о том, что получение информации о причинах (измерение) обязательно сопровождается затратами энергии (ростом энтропии), чем и обусловливается определенный уровень системы объективной случайности. В рассмотренном примере информация о расходе достигается ценой невозвратимых потерь давления (потенциальной энергии потока) на трение и завихрения (рис. 3.10).

Пример составления математической модели объекта при возможности допущения сосредоточенности параметров

Постановка задачи

Выше был рассмотрен ряд фундаментальных физических законов и некоторые примеры их применения для математического описания отдельных сторон металлургических процессов. Вследствие сложности процессов, протекающих в реальных металлургических агрегатах, действие рассмотренных законов проявляется одновременно и взаимосвязано. Причем вскрытие и отражение этих взаимосвязей представляют одну из сложнейших задач математического описания.

Ниже рассмотрим комплексный, но в то же время достаточно простой и наглядный пример математического описания объекта может быть взята одна из ванн сталеплавильного агрегата непрерывного действия. Однако в связи со сложностью этого объекта задачу его математического описания будем решать последовательно, начиная с самой грубой абстракции и постепенно усложняя постановку задачи.

Математическое описание

Скорость изменения объёма ванны

На первом уровне абстракции рассмотрим в качестве объекта проточную ванну (рис. 3.11), в которой и есть соответственно объемные значения притока и стока в единицу времени [16, 18].

Рис. 3.11 Проточная ванна как объект математического описания

Тогда скорость изменения объема ванны с учетом закона сохранения массы

Уравнение динамического баланса

Усложним постановку задачи. Представим, что в ванну идеального перемешивания поступает раствор, содержащий два не взаимодействующих между собой вещества и , концентрация которых на входе и , а на выходе и . Тогда уравнения динамического баланса для каждого компонента раствора имеют вид

Математическая модель объекта

Усложняем задачу далее. Рассмотрим случай, когда в ванне, кроме того, протекает химическая реакция вида

при которой в единицу времени расходуется по молей веществ и и образуется по столько же молей веществ и . Для объекта такого вида путем аналогичных рассуждений получаем следующую системудифференциальных уравнений

Эта система является математической моделью объекта в такой постановке задачи.

Решение уравнений с помощью ЭВМ

Совместное решение этих уравнений на ЭВМ позволяет получить любые интересующие нас значения выходных параметров ( , , ,, ) или скоростей их изменения для любого момента времени. Натурное исследование такого объекта может быть заменено исследованием на математической модели. При этом могут быть получены численные значения для всех статических и динамических характеристик, графики изменения выходных величин при изменении входных (переходные процессы) и т. д. К сожалению, для большинства реальных объектов получить аналитическим путем полное математическое описание весьма трудно, а в ряде случаев даже невозможно. Поэтому часто аналитический подход приходится сочетать с использованием экспериментально – статистических методов. С трудностями такого рода встретимся уже на следующем этапе усложнения приведенной выше задачи.

Динамический тепловой баланс

Рассмотрим на примере этой же ванны принцип составления динамического теплового баланса при наличии переноса вещества.

Количество тепла, которым обладает жидкость, находящаяся в емкости, равно

где

– плотность жидкости;

– теплоемкость;

– температура на входе;

– температура на выходе;

Количество тепла, поступающее в емкость в единицу времени с потоком , равно , а уходящее из емкости в единицу времени с потоком , равно .

Обозначим через количество тепла, получаемое ванной в единицу времени от внешних источников (например, путем теплопередачи от факела), а через – тепло от химических реакций.

Тогда скорость изменения энтальпии жидкости равна разности подводимого и отводимого тепла

Если присовокупить это уравнение к ранее рассмотренной системе из пяти уравнений, то получим математическую модель для более сложного объекта, в котором совместно с переносом вещества происходят теплообменные процессы.

Допущения

Следует отметить, что при составлении последнего уравнения был выделен ряд допущений, степень правомерности которых можно оценить только применительно к конкретному реальному объекту. Предположим, что описанный выше объект является упрощенным аналогом одной из ванн подового сталеплавильного агрегата непрерывного действия. Рассмотрим под этим углом зрения представленное выше уравнение теплового баланса. Оно справедливо в предположении, что потери тепла в окружающую среду отсутствуют, а теплоемкость и плотность не зависят от температуры и химического состава металла. Если последние предположения в какой-то мере допустимы, то первое может вызвать существенную (порядка 10-15% ) ошибку в тепловом балансе. При установившемся тепловом режиме эта величина может приниматься постоянной, в случае же резкого изменения соотношения между приходом и расходом тепла ошибка может быть значительной, если не учитывать аккумуляцию тепла кладкой. Таким образом, в приведенное выше уравнение теплового баланса следует добавить со знаком минус еще одну составляющую , более подробный учет которой требует составления уравнений теплопередачи, например, для стационарного случая, вида

где

и – внутренняя и наружная температуры футеровки;

– площадь футеровки;

– коэффициент теплопроводности.

Усложнение модели

Дальнейшее развитие модели применительно к сталеплавильному агрегату непрерывного действия потребует описания кинетики и равновесия протекающих в ванне химических реакций, их вклада в материальные и тепловые балансы, массо- и теплопереноса из шлака в металл, раскрытия зависимости теплового потока от параметров факела, которые, в свою очередь, зависят от расходов топлива, окислителя и условий смешения. Более подробно этот уровень математического описания будет рассмотрен на примерах математических моделей конкретных металлургических процессов в гл. 8.

Часть этих процессов может быть описана с использованием рассмотренного выше аналитического подхода, что, естественно, повлечет за собой дальнейшее усложнение модели, а это возможно до вполне определенных разумных пределов. Кроме того, при математическом описании объектов практически всегда остаются такие стороны или процессы, которые не поддаются однозначному детерминированному описанию. Не следует также забывать, что нередко входные и выходные параметры измеряются с существенными погрешностями. В этих случаях используются экспериментально – статистические методы, которые позволяют выделить низкочастотные регулярные составляющие на фоне помех, оценить величину ошибок контроля, определить степень адекватности модели по экспериментальным данным и т. д. (см. гл. 5).

Математическое описание объектов с распределёнными параметрами

Объекты с сосредоточенными параметрами

В рассмотренном выше примере в предположении идеального перемешивания ванны (например, путем ее продувки инертным газом) можно было сделать допущение, что ее физическиепараметры (состав, температура и др.) по всему объему практически одинаковы, т. е. здесь имеем дело с пространственно однородным физическим полем. Изменение же параметров такого поля во времени может быть представлено как поведение характерной его точки. Такого рода объекты принято называть объектами с сосредоточенными параметрами. Они описываются обыкновенными (линейными и нелинейными) дифференциальными уравнениями.

Объекты с распределёнными параметрами

Уравнение, описывающее объекты с распределёнными параметрами

Однако во многих практически важных случаях наряду с изменением параметров поля во времени происходит их существенное изменение также в пространстве. Математическим аппаратом для описания таких объектов, называемых объектами с распределенными параметрами, являются дифференциальные уравнения в частных производных. Общий вид такого уравнения следующий:

      (3.107) 

Три типа уравнения

Зависимость от дискриминанта

В зависимости от знака дискриминанта получают один из следующих типов уравнений: эллиптическое ( >0), параболическое (=0), гиперболическое ( <0) и смешанное [ не изменяет знак в области, ограниченной кривой ].

Уравнение Пуассона

Уравнение эллиптического типа (уравнение Пуассона) имеет следующий вид:

      (3.108)При имеем частный случай –уравнение Лапласа.

Уравнение теплопроводности и диффузии

Уравнение параболического типа (уравнение теплопроводности и диффузии)

      (3.109)описывает, в частности, нестационарное распределение температуры вдоль тонкого однородного стержня.

Волновое уравнение

Уравнение гиперболического типа (волновое уравнение)

      (3.110)описывает, в частности, поперечные колебания струны в каждом из сечений во времени.

Применимость уравнения определенного типа

Применимость уравнения соответствующего вида определяется, прежде всего, физическими свойствами конкретного объекта, а также характером воздействия внешней среды (граничными условиями). В ряде случаев такие уравнения удается получить путем аналитических рассуждений. В качестве примера такого подхода можно взять вывод уравнения теплопроводности.

Процесс теплопередачи как пример объекта с распределёнными параметрами

Рассмотрим процесс теплопередачи по длине тонкого стержня, нагреваемого с одного конца пламенем горелки, в предположении, что потери тепла в окружающую среду отсутствуют (рис. 3.12).

Рис. 3.12 К выводу уравнения теплопроводности

Мысленно разделим весь стержень по длине на большое число маленьких кусочков. В соответствии с законом сохранения энергии изменение количества тепла в – том кусочке за некоторый промежуток времени определяется притоком тепла от предыдущего и оттоком в последующий кусочек, т. е. разностью тепловых потоков через торцы элементарного цилиндрика. Таким образом, уравнение баланса тепла для – того элементарного объема в – ый момент времени

где

и – координаты начала и конца элементарного цилиндрика.

После несложных преобразований получаем разностное уравнение

      (3.111)

Приравнивая все эти разности к нулю, т. е. переходя от конечных разностей к бесконечно малым приращениям и их пределам, получаем в результате этого предельного перехода дифференциальное уравнение

      (3.112)соответствующее уравнению (3.111).

Учитывая, что

где

– плотность;

– теплоемкость;

– коэффициент теплопроводности,

получаем исходное уравнение теплопроводности

      (3.113)которое в предположении постоянства теплофизических параметров , и принимает вид:

      (3.114)аналогичный уравнению (3.109), отличаясь от него лишь отсутствием члена , учитывающего краевые условия.

Уравнения (3.113) и (3.114) могут быть использованы также для описания теплопередачи через бесконечно большую стенку определенной толщины. Моделирование этого процесса на ЭВМ см. в гл. 7.

Уравнение (3.114) описывает процесс нестационарной теплопроводности для одномерной задачи, когда неоднородность поля проявляется только в одном направлении. В случае же двух- и трехмерных задач в правой части уравнения (3.114) появляются частные производные по соответствующим координатам.

Уравнение теплопроводности как пример объекта с распределёнными параметрами

Таким образом, в качестве объекта с распределенными параметрами был рассмотрен процесс теплопередачи. Вследствие же подобияпроцессов теплопередачи и диффузии, описывающие ее уравнения по виду аналогичны уравнениям теплопроводности, что можно видеть из сравнения с приведенным ранее уравнением диффузии (3.58)

Вывод уравнения теплопроводности является одновременно хорошей иллюстрацией тесного взаимодействия физических и математических методов. При постановке задачи здесь использовались, прежде всего, физические представления о процессе теплопередачи, в результате чего на основе закона сохранения энергии было получено уравнение баланса тепла для элементарного объема. Все дальнейшие этапы вывода уравнения теплопроводности явились результатом чисто формальных математических преобразований (3.111) – (3.113), приведших к получению конечного уравнения (3.114).

Возможно, вам будет интересно также: