От простых систем к сложным. Броуновское движение

Примеры случайности

Определение случайности

Вернемся снова к определению случайности, под которым мы условились понимать воздействие большого числа причин, внешних по отношению к данному объекту, то есть величин, которые могут принимать любые заранее неизвестные значения. Упрощенным примером такого представления может служить движение бильярдного шара под воздействием кия или футбольного мяча, ведомого футболистом (рис.1.10, рис.1.11)

Рис. 1.10 К иллюстрации случайности

Рис. 1.11 Изменение скорости мяча под действием случайных ударов и сил трения

Движение мяча, ведомого футболистом

Уравнение движения мяча

Пример с футбольным мячом мы используем ниже в качестве удачной аналогии для рассуждений о сочетании случайности и необходимости и выводе уравнения Ланжевена, в котором, наряду с детерминированной, будет присутствовать и случайная составляющая, что позволит сделать интересные выводы о роли флуктуаций в самоорганизации.

Игрок ведет по полю футбольный мяч, его скорость изменяется по двум причинам. Он увеличивает скорость движения мяча случайными ударами по нему, а из-за трения о траву движение мяча замедляется. Уравнение движения определяется законом Ньютона:

       (1.4)Предположим, что сила трения пропорциональна скорости

где

– постоянная времени.

Так как удар длится короткое время, представим соответствующую силу – функцией с константой :

       (1.5)где

– момент удара.

Как этот удар изменяет скорость можно определить следующим образом. Подставим (1.5) в (1.4).

       (1.6)Возьмем интеграл по новому временному интервалу, внутри которого находится момент

      (1.7)После интегрирования получаем

       (1.8)Это выражение означает, что в момент скорость внезапно возрастает на величину . Полная сила, приложенная игроком, получается путем суммирования (1.5) по последовательности ударов

       (1.9)Далее предположим, что импульсы (удары) передаются не только в одном, но случайным образом также и в обратном направлении. Тогда заменим функцией

       (1.10)в которой последовательность знаков плюс и минус случайна (подобно бросанию монеты). С учетом непрерывно действующей силы трения полное уравнение движения мяча или (без потери общности) другого объекта можно представить в виде:

или после деления на

       (1.11)где

и

       (1.12)Операцию статического усреднения следует рассчитывать с учетом конкретных условий, но можно лишь утверждать, что в любом случае каждую отдельную траекторию предсказать нельзя, можно предсказать лишь среднюю траекторию.

Уравнение движения мяча

Продолжая футбольную аналогию интересно предположить результатом усреднения траекторию под воздействием нескольких футболистов соперничающих команд, каждый из которых имеет цель поразить ворота противника. Здесь уже можно, по-видимому, говорить о чем-то близком к процессам самоорганизации. Если записать, например, на видеокамеру и определенным образом обработать (усреднить) на ЭВМ траектории движения мяча, то, по-видимому, можно получить структуры, отражающие тренерский замысел, мастерство игроков и соотношение силы противоборствующих команд.

Вернемся к способам усреднения случайной составляющей (флуктуации). Допустим, что мы усреднили по случайной последовательности знаков плюс и минус. Так как они встречаются с равной вероятностью, то получаем

        (1.13)Естественно, это справедливо лишь для очень длинной последовательности. На коротких интервалах среднее значение может быть отличным от нуля.

Одним из распространенных методов усреднения является вычисление корреляционной функции. Возьмем в момент , умножим на в момент и усредним это произведение по моментам толчков и их направлениям. Считая процесс пуассоновским, находим корреляционную функцию (преобразования опускаем)

        (1.14)где постоянная характеризует степень затухания корреляционной функции.

Броуновское движение

Усреднение случайности

Уравнение (1.11) вместе с (1.13) и (1.14) может быть использовано также для описания броуновского движения. При этом большая частица, погруженная в жидкость, испытывает случайные толчки со стороны сравнительно малых частиц жидкости (молекул), совершающих тепловое движение. Теория броуновского движения играет фундаментальную роль во многих областях науки и может быть весьма полезной для понимания процессов самоорганизации, как пример коллективного взаимодействия большого числа частиц.

Метод вариации постоянной

Дифференциальное уравнение (1.11) решается методом вариации постоянной . Решение имеет вид

         (1.15)Последний член этого уравнения, который быстро затухает, исключаем из рассмотрения.

Средняя кинетическая энергия

Вычислим среднюю кинетическую энергию, определенную выражением

        (1.16)Скобки обозначают усреднение по всем точкам.

Подставляя (1.15) в (1.16), после ряда преобразований получаем

         (1.17)Для рассмотрения стационарного состояния (большое ) можно опустить экспоненциальный член. Тогда

         (1.18)

Использование вывода Эйнштейна

Воспользовавшись фундаментальным выводом Эйнштейна , можно считать, что частица, погруженная в жидкость, находится в тепловом равновесии с окружающей средой. Частица, совершающая одномерное движение, обладает одной степенью свободы и в соответствии с теоремой равнораспределения термодинамики должна иметь среднюю энергию

где

– постоянная Больцмана,

– абсолютная температура.

Тогда

        (1.19)

Пример флуктуационно-диссипационной теоремы

Сравнение этого результата с (1.18) приводит к соотношению

        (1.20)Подчеркнем, что постоянная является одним из сомножителей в корреляционной функции флуктуирующих сил (1.14). Поскольку в выражение для входит постоянная затухания , корреляционная функция оказывается связанной с затуханием, то есть с диссипацией в системе. Соотношение (1.20) является одним из простейших примеров флуктуационно-диссипационной теоремы: величина флуктуации определяется скоростью диссипации . Кроме того, существенным фактором является абсолютная температура, повышение которой способствует росту флуктуаций.

Двухвременная корреляционная функция скорости

Еще раз подчеркнем, что мы можем предсказать только среднее значение случайной величины, а не индивидуальную траекторию. Одна из наиболее важных средних – двухвременная корреляционная функция скорости

        (1.21)которая определяет, как быстро скорость “забывает” свое прошлое, то есть дает оценку меры времени, которое требуется, чтобы скорость существенно изменила свое значение от первоначального, заданного в момент значения. Для вычисления (1.21) подставим выражение из (1.15)

        (1.22)(1.21) и после ряда преобразований для стационарного процесса ( и – большие, а разность малая) получаем:

       (1.23)Из этого выражения следует, что скорость “забывает” свое прошлое за время . Очевидно, что в случае приближения к 0 в (1.23) возникает расходимость, то есть флуктуации становятся очень большими, мы имеем дело с критическими флуктуациями. Напоминаем, что характеризует скорость затухания (диссипации).

Как будет показано в следующих главах, именно флуктуации, когда они становятся достаточно большими, приводят к дестабилизации системы и переходу ее на новый уровень. Необходимым, но недостаточным условием для этого является значительное отклонение системы от равновесия.

Возможно, вам будет интересно также: